Егэ-тренер. Подготовка 2022-2023 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников |
|
Найти все значения а, при каждом из которых оба числа (2а+8)/(a+1) и 2a+1-0,5·4a+2 являются корнями уравнения 6x-(sin2(πa)+16)·3x+(sin2(πa)-9)·2x+7cos2(πa)=sin4(πa)-137 Автор: Себедаш Ольга Просмотров: 3887 Скачиваний: 227 Извините, но в данный момент скачивание закрытоВы всегда можете посмотреть много других замечательных и бесплатных роликов в разделе «Видео: бесплатные уроки» Ролик с подробным разбором решения этой задачи входит в один их дисков «С1-С3» и «С4-С6»Комментарии к этому ролику: Комментарий добавил(а): евгений звука конечно не хватает Комментарий добавил(а): Бадулин Олег Задача. При каких значениях параметра a оба числа p=2^(a+1)-0,5*4^a+2 и k=(2a+8)/(a+1) являются корнями уравнения 6^x-(sin^2(п*a)-9)*3^x+(sin^2(п*a)-9)*2^x+7*cos^2(п*a)=sin^4(пи*a)-137, (*). Решение. (*) <--> 2^x*3^x-(sin^2(п*a)-9)*3^x+(sin^2(п*a)-9)*2^x+7*(1-sin^2(п*a))= sin^4(пи*a)-137. Пусть {u=2^x, {v=3^x, {b=sin^2(п*a), тогда уравнение (*) запишется так: u*v-(b+16)*v+(b-9)*u+7*(1-b)=b^2-137; u*v-(b+16)*v+(b-9)*u-(b^2+7b-144)=0; u*v-(b+16)*v+(b-9)*u-(b+16)(b-9)=0; v(u-(b+16))+(b-9)(u-(b+16))=0; (u-(b+16))(v+b-9)=0; [u=b+16, [v=9-b. Вернёмся к исходным переменным x и a: [2^x=sin^2(п*a)+16, (1) [3^x=9-sin^2(п*a), (2). Следовательно, данное уравнение (*) равносильно совокупности двух уравнений (1) и (2). Таким образом, числа p и k являются корнями уравнения (*) тогда и только тогда, когда каждое из них является корнем хотя бы одного из уравнений (1) или (2). Пусть x1 – корень уравнения (1), тогда 2^x1=sin^2(п*a)+16 <--> { sin^2(п*a)=2^x1-16, {0<=sin^2(п*a)<=1 --> 0<=2^x1-16<=1 <--> 4<= x1<= log(17;2) <--> x1{принадлежит}D1, где D1=[4;log(17;2)]. Пусть x2 – корень уравнения (2), тогда 3^x2=9-sin^2(п*a) <--> { sin^2(п*a)=9-3^x2, {0<=sin^2(п*a)<=1 --> 0<=9-3^x2<=1 <--> log(8;3)<= x1<= 2 <--> x2{принадлежит}D2, где D2=[log(8,3);2]. Логически возможны следующие случаи: I. p – корень уравнения (1); II. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (2); III. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (1). Покажем, что случаи I и II не возможны ни при каких значениях параметра a. А случай III имеет место только при a=2. Случай I. p – корень уравнения (1) --> p{принадлежит}D1 --> p>=4 <--> 2^(a+1)-0,5*4^a+2>=4 <--> (2^a-2)^2<=0 <--> (2^a-2)^2=0 <--> a=1. При a=1; k=(2a+8)/(a+1)=(2+8)/(1+1)=5. Но 5{не принадлежит}D1 и 5{не принадлежит}D2. Следовательно, k=5 не является решением уравнений (1) и (2), а значит и решением данного уравнения (*). Поэтому значение a=1 не удовлетворяет условию задачи. Случай II. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (2); --> {p{принадлежит}D2, {k {принадлежит}D1; --> {p<=2, {k>=4; <--> {2^(a+1)-0,5*4^a+2<=2, { (2a+8)/(a+1)>=4; <--> {a>=2 {-1<a<=2 <--> a=2. При a=2; p=2, k=4. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что p=2 –корень уравнения (2), а k=4 – корень уравнения (1). Следовательно, при a=2, числа p=2 и k=4 являются решениями данного уравнения (*). Значит, a=2 удовлетворяет условию данной задачи. Случай III. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (2) --> {p{принадлежит}D2, {k {принадлежит}D2; --> {p<=2, {k<=2; <--> {2^(a+1)-0,5*4^a+2<=2, { (2a+8)/(a+1)<=2; <--> {a>=2 {a<-1. Полученная система не имеет решений. Ответ: a=2. Комментарий добавил(а): Бадулин Олег Только заметил, что пропустил одно условие при описании Случая I. Должно быть так: I. {p – корень уравнения (1),{k - корень хотя бы одного из уравнений (1) или (2). Комментарий добавил(а): сашка Без звука неудобно Комментарий добавил(а): pavel не ребят, такое нельзя решать...это мегажесть. Комментарий добавил(а): СЕРЁГА ПОЛНОСТЬЮ СОГЛАСЕН С ПАВЛОМ Комментарий добавил(а): Дмитрий Ну и задача! Не уму, не сердцу) Однако, спасибо Бадулину Олегу... правда, есть кое-какие несоответствия. В начале сказано, что в случае II {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (2), а в случае III {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (1), затем нумерация почему-то изменилась. Но в принципе, разобраться можно:) Комментарий добавил(а): Бадулин Олег Дмитрий, спасибо за замечание! Сейчас всё исправлю. Комментарий добавил(а): Бадулин Олег Задача. При каких значениях параметра a оба числа p=2^(a+1)-0,5*4^a+2 и k=(2a+8)/(a+1) являются корнями уравнения 6^x-(sin^2(п*a)-9)*3^x+(sin^2(п*a)-9)*2^x+7*cos^2(п*a)=sin^4(пи*a)-137, (*). Решение. (*) <--> 2^x*3^x-(sin^2(п*a)-9)*3^x+(sin^2(п*a)-9)*2^x+7*(1-sin^2(п*a))= sin^4(пи*a)-137. Пусть {u=2^x, {v=3^x, {b=sin^2(п*a), тогда уравнение (*) запишется так: u*v-(b+16)*v+(b- 9)*u+7*(1-b)=b^2-137; u*v-(b+16)*v+(b-9)*u-(b^2+7b-144)=0; u*v-(b+16)*v+(b-9)*u- (b+16)(b-9)=0; v(u-(b+16))+(b-9)(u-(b+16))=0; (u-(b+16))(v+b-9)=0; [u=b+16, [v=9-b. Вернёмся к исходным переменным x и a: [2^x=sin^2(п*a)+16, (1) [3^x=9-sin^2(п*a), (2). Следовательно, данное уравнение (*) равносильно совокупности двух уравнений (1) и (2). Таким образом, числа p и k являются корнями уравнения (*) тогда и только тогда, когда каждое из них является корнем хотя бы одного из уравнений (1) или (2). Пусть x1 – корень уравнения (1), тогда 2^x1=sin^2(п*a)+16 <--> { sin^2(п*a)=2^x1-16, {0<=sin^2(п*a)<=1 --> 0<=2^x1-16<=1 <--> 4<= x1<= log(17;2) <--> x1{принадлежит}D1, где D1=[4;log(17;2)]. Пусть x2 – корень уравнения (2), тогда 3^x2=9-sin^2(п*a) <--> { sin^2(п*a)=9-3^x2, {0<=sin^2(п*a)<=1 --> 0<=9-3^x2<=1 <--> log(8;3)<= x1<= 2 <--> x2{принадлежит}D2, где D2=[log(8,3);2]. Логически возможны следующие случаи: I. {p – корень уравнения (1),{k – корень хотя бы одного из уравнений (1) или (2); II. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (2); III. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (1). Покажем, что случаи I и II не возможны ни при каких значениях параметра a. А случай III имеет место только при a=2. Случай I. p – корень уравнения (1) --> p{принадлежит}D1 --> p>=4 <--> 2^(a+1)-0,5*4^a+2>=4 <--> (2^a-2)^2<=0 <--> (2^a-2)^2=0 <--> a=1. При a=1, получаем: k=(2a+8)/(a+1)=(2+8)/(1+1)=5. Но 5{не принадлежит}D1 и 5{не принадлежит}D2. Следовательно, k=5 не является решением уравнений (1) и (2), а значит и решением данного уравнения (*). Поэтому значение a=1 не удовлетворяет условию задачи. Случай II. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (2) --> {p{принадлежит}D2, {k {принадлежит}D2; --> {p<=2, {k<=2; <--> {2^(a+1)-0,5*4^a+2<=2, { (2a+8)/(a+1)<=2; <--> {a>=2 {a<-1. Полученная система не имеет решений. Случай III. {p – корень уравнения (2), {k – корень уравнения (1); --> {p{принадлежит}D2, {k {принадлежит}D1; --> {p<=2, {k>=4; <--> {2^(a+1)-0,5*4^a+2<=2, { (2a+8)/(a+1)>=4; <--> {a>=2 {-1<a<=2 <--> a=2. При a=2, получаем: p=2, k=4. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что p=2 –корень уравнения (2), а k=4 – корень уравнения (1). Следовательно, при a=2, числа p=2 и k=4 являются решениями данного уравнения (*). Значит, a=2 удовлетворяет условию данной задачи. Ответ: a=2. Комментарий добавил(а): Равиль Стало еще сложнее) Комментарий добавил(а): Сергей Мама дорогая...... ППЦ! Смотрю я на эту задачу... и не могу понять..... Конечно ещё отсутствие звука напрягает.... Наложите пожалуйста звук на видео, и если не трудно, уменьшите скорость видео потока... Просто всё так быстро, глаз не умпевает захватить картинку, а мозг не успевает обработать.... |
