Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам (вар. 83)

Через точку внутри треугольника АВС проведены три прямые, параллельные сторонам
треугольника. Эти прямые образуют со сторонами треугольника 3 новых треугольника.
а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей новых треугольников,
    равен площади треугольника АВС.

Пункт б) этой задачи решён автономно (независимо от доказательства) на предыдущей странице.

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Нам надо доказать весьма замысловатую формулу, запишем её и расшифруем:







Слева зашифрована сумма площадей параллелограммов на рисунке ниже.

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Поделив равенство на два, слева получим сумму площадей треугольников:

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Таким образом, доказать надо следующее равенство:



И в этот момент интуиция должна подсказать потрясающую догадку:







18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Рассмотрим и опять же расшифруем первое равенство:







У красного и жёлтого треугольников равны высоты, проведённые
к основаниям ТЕ и КР, т.к. эти основания параллельны. Поэтому
площади этих треугольников относятся, как основания ТЕ и КР.
Аналогично рассуждаем о зелёном и красном треугольниках.

Таким образом, доказать требуется равенство:



Последнее следует из подобия жёлтого и зелёного треугольников.

========================

Если бы такая задача на экзамене досталась бы мне, то рассуждения,
приведённые выше, я бы проделала только в черновике. В чистовик
я бы записала сначала очевидное последнее равенство-пропорцию
и двигалась бы от него строго вверх до самой победы.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8723

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Михаил Н.
Дата: 2015-04-02

Эта задача проще решается. Почти устно. Используя рисунок предыдущего решения, обозначим: AE=x, EF=x, FC=z. Далее: S1/S=(x/(x+y+z))^2, аналогично, S2/S=(y/(x+y+z))^2 и S3/S=(z/(x+y+z))^2. Остается извлечь корни из этих равенств, сложить и получить ответ

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-04-04

Михаил, быстро написать - не значит быстро и просто решить. Моё решение большей частью объясняет саму идею. А само решение в пару строчек записать легко))

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика