Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Зная площади больших треугольников, ищем площадь маленького (вар. 83)

Через точку T внутри треугольника АВС проведены три прямые k, l и m так, что
k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют со сторонами треугольника
три треугольника, два из которых равны по площади.
а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников,
образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади
этого треугольника;
б) Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь
треуг. ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.


Понятно, что если формула пункта а) будет доказана, то подставить в неё
данные из пункта б) не составит труда. Однако решим автономно пункт б).

Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

У треугольников на рисунке стороны соответственно параллельны друг другу.
Несложно доказать, что они подобны по двум углам. Если площади подобных
треугольников равны, то и сами треугольники тоже равны (докажите это).

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

У равных треугольников по определению равны соответствующие стороны.
Отмечаем ещё пары равных сторон, учитывая свойства параллелограмма.

Таким образом, КТ - средняя линия треугольника APF по определению.
Площадь треугольника APF в 4 раза больше площади треугольника КРТ.
***Треугольники подобны с коэффициентом подобия, равным двум.

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Треугольники APF и AВС тоже подобны. Их площади равны 16 и 25.
Значит, соответствующие стороны треугольников относятся, как 4 : 5.
Учитываем заодно равенство противоположных сторон параллелограмма:

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Наконец, замечаем ещё одну пару подобных треугольников: KPT и TNH.
Коэффициент подобия равен 2, значит, площади относятся, как 4 : 1.
Таким образом, площадь маленького треугольника TNH равна 1.

Ответ:1

18(C4). Через точку внутри треугольника проведены три прямые, параллельные сторонам

Доказать утверждение пункта а) можно, рассуждая аналогично, обозначив
данные равные площади через х, используя те же подобия и отношения.

Но на следующей странице утверждение будет доказано в общем виде, то есть точка внутри
треугольника произвольная, наличие равных треугольников необязательно.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 6312

Комментарии к этой задаче:

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика