Решите неравенство:

Рассмотрим это интересное неравенство как самостоятельную единицу.
Ниже, после решения я покажу, как учесть первое неравенство системы варианта 58.
=========================================
Для начала перепишем неравенство, введя временную переменную:
 Это неравенство в силу убывания логарифма равносильно такому:


Снова временно введя переменную, запишем немного проще:

Двойное неравенство удобнее записать в виде системы:

В силу возрастания логарифма система равносильна системе:

Упростим теперь само подлогарифмическое выражение:

Точки -1 и 1 разбивают всю ось ОХ на три области. ==========================================
1) Пусть x < -1. Тогда

Знаменатель при этом отрицателен. Умножим на (2x + 1) < 0 каждое уравнение системы и поменяем знаки системы:
 \\
\end{array} )


На луче x < -1 система решений не имеет. ==========================================
2) Пусть x > 1. Тогда

Знаменатель при этом положителен. Умножим на (2x + 1) > 0 каждое уравнение системы, знаки системы не меняем:
 \\
\end{array} )
Не имеет решений первое неравенство, а значит, и вся система. ==========================================
3) Пусть -1 ≤ x ≤ 1, х ≠ -0,5. Тогда

Система примет следующий вид:

Разобьём промежуток на две части - [-1; -0,5) и (-0,5; 1]. ----------------------------------- а) Пусть -1 ≤ x < -0,5. Тогда знаменатель отрицателен, и значит, p < 0. Наша система решений не имеет. ----------------------------------- б) Пусть -0,5 < x ≤ 1. Тогда знаменатель положителен, умножим на него:
 \\
\end{array} )


Полученный полуинтервал входит в промежуток (-0,5; 1] и является ответом.
=================================
Учтём, что это неравенство было предложено с другим неравенством в системе.
Удовлетворяет ли данному неравенству х = 0, можно проверить сходу:


Сначала оценим внутренний логарифм (с основанием, большим единицы):

Теперь оценим внешний логарифм (с основанием, меньшим единицы):

Итак, с нулём всё в порядке. Осталось проверить значения х, большие 16. Идея решения та же, но раскрывать модули достаточно лишь для х > 1. Система в этом случае (см. выше случай номер 2) решений не имеет.
Таким образом, общий ответ системы только один: х = 0.
Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 12704
|