Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

15(C3). Двойной логарифм и модули в неравенстве (вар. 58)

Смотреть видеоурок

Решите неравенство:


Рассмотрим это интересное неравенство как самостоятельную единицу.
Ниже, после решения я покажу, как учесть первое неравенство системы варианта 58.
=========================================
Для начала перепишем неравенство, введя временную переменную:


Это неравенство в силу убывания логарифма равносильно такому:





Снова временно введя переменную, запишем немного проще:



Двойное неравенство удобнее записать в виде системы:



В силу возрастания логарифма система равносильна системе:



Упростим теперь само подлогарифмическое выражение:



Точки -1 и 1 разбивают всю ось ОХ на три области.
==========================================
1) Пусть x < -1. Тогда



Знаменатель при этом отрицателен. Умножим на (2x + 1) < 0
каждое уравнение системы и поменяем знаки системы:







На луче x < -1 система решений не имеет.
==========================================
2) Пусть x > 1. Тогда



Знаменатель при этом положителен. Умножим на (2x + 1) > 0
каждое уравнение системы, знаки системы не меняем:



Не имеет решений первое неравенство, а значит, и вся система.
==========================================
3) Пусть -1 ≤ x ≤ 1, х ≠ -0,5. Тогда



Система примет следующий вид:



Разобьём промежуток на две части - [-1; -0,5) и (-0,5; 1].
-----------------------------------
а) Пусть -1 ≤ x < -0,5. Тогда знаменатель отрицателен, и значит, p < 0.
Наша система решений не имеет.
-----------------------------------
б) Пусть -0,5 < x ≤ 1. Тогда знаменатель положителен, умножим на него:







Полученный полуинтервал входит в промежуток (-0,5; 1] и является ответом.

=================================
Учтём, что это неравенство было предложено с другим неравенством в системе.
Удовлетворяет ли данному неравенству х = 0, можно проверить сходу:





Сначала оценим внутренний логарифм (с основанием, большим единицы):



Теперь оценим внешний логарифм (с основанием, меньшим единицы):



Итак, с нулём всё в порядке. Осталось проверить значения х, большие 16.
Идея решения та же, но раскрывать модули достаточно лишь для х > 1.
Система в этом случае (см. выше случай номер 2) решений не имеет.

Таким образом, общий ответ системы только один: х = 0.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 9076

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Алексей
Дата: 2014-04-05

В неравенствах лучше не домножать на знаменатель, а решать методом интервалов. Например, в первом случае раскрытия модулей получается не -0,25, а -0,5. На ответ, конечно не влияет, но все-таки числа другие

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-04-06

Алексей, "лучше" - понятие спорное. Решаю наиболее оптимальным способом))

Комментарий добавил(а): Н
Дата: 2016-01-28

За домножение на знаменатель снижают бал,как минимум

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2016-01-29

"За домножение на знаменатель снижают бал,как минимум". Видимо, Вы плоховато разбираетесь в неравенствах, Н. И я не делаю ничего, за что снижали бы балл. Даже не сомневайтесь ;)

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика