Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /home/muzeinie/egetrener.ru/view_post.php:28) in /home/muzeinie/egetrener.ru/blocks/shapka_minimalizm.php on line 3

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /home/muzeinie/egetrener.ru/view_post.php:28) in /home/muzeinie/egetrener.ru/blocks/shapka_minimalizm.php on line 3

Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Пришлю вам бесплатный урок по тригонометрии!

14(C2). Часть 2. Находим угол между стороной и диагональю сечения (вар. 42)

Каждое из рёбер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка Р на ребре АВ,
точка Q на ребре ВС, точка R на ребре CD взяты так, что AP = 1/2, BQ = CR = 1/3.
Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти угол между прямыми SP и SQ.


Начало решения, а именно построение самого сечения и поиск положения точки S на боковом ребре AD, здесь.

Введём три основных вектора АС, АВ и АD и выразим через них векторы SP и SQ.



Чтобы избежать дробей в вычислениях и учитывая положение точек S, P и Q,
введём базисные векторы i, j и k, такие что AC = 30·i, AB = 30·j и AD = 30·k.



Выразим через базисные векторы вектор SP: SP = SA + AP.



Получим, что SP = -6·k + 15·j = 15·j - 6·k.

Выразим через базисные векторы вектор SQ: SQ = SA + AC + CQ.



Получим, что SQ = -6·k + 30·i + 2/3·CB.
SQ = -6·k + 30·i + 2/3·(-30·i + 30·j) = 10·i + 20·j - 6·k.

Выпишем результаты здесь. SP = 15·j - 6·k;    SQ = 10·i + 20·j - 6·k.
Вспомним, что угол между векторами находится следующим образом:



Найдём скалярное произведение векторов, т.е. перемножим выражения.
При этом заметим, что         i·j = i·k = j·k = 0,5,            i2 = j2 = k2 = 1.
Ребро тетраэдра при этом равно шести, но угол от ребра не зависит.





Чтобы найти длины векторов SP и SQ, возведём их сначала скалярно в квадрат.





Извлекаем корни, ищем длины векторов:





Осталось записать результат:


Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8975

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Алла
Дата: 2013-09-17

основное определить положение точки S, но оно никак не оговаривается.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-17

Алла, выше есть ссылочка на первую часть. Это часть номер два.

Комментарий добавил(а): Алла
Дата: 2013-09-18

Спасибо.

Комментарий добавил(а): Радиф Галиевич
Дата: 2013-09-18

Наверное, лучше и не бывает...

Комментарий добавил(а): тамара
Дата: 2013-10-24

Ольга Игоревна,спасибо за решение. Красота.

Комментарий добавил(а): Владимир
Дата: 2013-09-19

Ольга Игоревна! Спасибо большое за великолепное объяснение. Но не пойму, почему в заголовке "угол между скрещивающимися прямыми?

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-19

Владимир, спасибо, поправлю.

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-09-21

Никак не могу понять, почему АМ=2/3?

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-09-21

Неужели такую сложную задачу под силу решить простому школьнику? И которая оценивается всего в 2 балла?! Издевательство. А Вам Ольга большое спасибо за оригинальное решение. Вот почему при разложении векторов по базисам Вы взяли именно число 30? а можно без этого числа прорешать? пусть даже с дробями. Спасибо.

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-21

Флюра, Вы спрашиваете, почему CQ=2/3·CB? По условию. Число 30 взяла,т.к. оно делится на 2, на 3 и на 5. Не люблю дроби) Конечно, можно решать и с дробями.

Комментарий добавил(а): Флюра
Дата: 2013-09-22

Спасибо за ответ. Но я спросила почему АМ = 2/3? То что СQ = 2/3CВ-это я знаю!

Комментарий добавил(а): egetrener
Дата: 2013-09-22

Флюра, но у меня нет точки М.

Комментарий добавил(а): GVS
Дата: 2013-10-09

Уважаемая Ольга Игоревна! Может быть, ребро тетраэдра равно не шести, а тридцати?

Комментарий добавил(а): Рубен
Дата: 2013-11-20

Пожалуйста, объясните слова: "При этом заметим, что i·j = i·k = j·k = 0,5, i2 = j2 = k2 = 1." На чем основаны эти умозаключения?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-11-21

Рубен, почитайте о скалярном произведении векторов.

Комментарий добавил(а): Наталья Н
Дата: 2013-12-17

Уважаемая Ольга Игоревна! Подскажите, пожалуйста, сколько времени у Вас заняло это решение.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2013-12-17

Наталья Н., само оформление здесь, на сайте, заняло много времени, конечно. Но решение... не помню уже) Кажется, не очень

Комментарий добавил(а): Марьяна
Дата: 2015-03-06

а без векторов никак нельзя ?...

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика