Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а боковая сторона равна 10√3.
К основанию АВ и стороне ВС проведены высоты СР и AH, пересекающиеся в точке К.
Найдите площадь треугольника CKH.


1) Из формулы площади треугольника ABC найдём синус угла при вершине:
S = 0,5 · AC · BC · sin∠C; 0,5 · 10√3· 10√3 · sin∠C = 90;
150√3 · sin∠C = 90; sin∠C = 90/150 = 9/15 = 3/5; sin∠C = 0,6.

2) По условию отрезки высот пересекаются,
значит, треугольник ABC остроугольный, и cos∠C = 0,8.

3) В прямоугольном треугольнике ACP находим катет.
СP = AC · cos∠C = 10√3 · 0,8 = 8√3.

4) Прямоугольные треугольники ACH и KCP подобны по двум углам (CH является биссектрисой).
Значит, площади этих треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Коэффициент подобия равен отношению отрезков СH и CP. Найдём длину высоты СH.

5) По теореме косинусов в треугольнике ABC найдём основание.
АВ2 = AC2 + BC2 - 2 · AC · BC · cos∠C;
АВ2 = 300 + 300 - 2 · 300 · 0,8 = 600 - 600 · 0,8 = 600 · 0,2 = 120;
AB = 2√30; AH = AB/2 = √30.

6) Из треугольника ACH по теореме Пифагора: CH2 = AC2 - AH2 = 300 - 30 = 270; CH = 3√30.

7) Таким образом, находим коэффициент подобия: k =
CP
CH 		=
8√3
3√30 		=
8
3√10

8) Отношение площадей равно квадрату коэффициента, т.е. k2 =
64
90 		=
32
45

9) Учтём, что площадь треуг. ACH равна половине площади треуг. ABC, т.е. 45.

10) Наконец, находим площадь искомого треугольника СKH: S =
32
45 		· 45 = 32

Ответ: 32

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 57135

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Сергей
Дата: 2010-02-24

Вы лучшая!!!!!!!!!!

Комментарий добавил(а): папоапо
Дата: 2009-11-16

буквы перепутаны

Комментарий добавил(а): ученик
Дата: 2009-11-16

мне задали подобную задачку...думаю это *** какой-то!!!

Комментарий добавил(а): ЯНа
Дата: 2010-02-07

это верное решение?

Комментарий добавил(а): ученик
Дата: 2010-02-04

кто этот бред написал? разве можно площадь в первом пункте так высчитывать?

Комментарий добавил(а): Егэ-тренер
Дата: 2010-02-05

Этот бред писала я. Да, площадь можно считать по этой формуле.

Комментарий добавил(а): Валека
Дата: 2010-03-21

Жаль, буквы перепутаны.

Комментарий добавил(а): Валека
Дата: 2010-03-21

Проще найти искомую площадь через длины катетов СН и КН (у Вас КР и СР)

Комментарий добавил(а): ирина
Дата: 2010-03-26

Находить площадь треугольника образованного тремя точками принадлежащими одной прямой - это круто!

Комментарий добавил(а): Сергей Сергеевич
Дата: 2010-10-06

Это нерациональное решение

Комментарий добавил(а): ура
Дата: 2011-02-07

ееес, да, эту формулу я искала, она существует! )))))

Комментарий добавил(а): даня
Дата: 2011-04-07

это сложно

Комментарий добавил(а): Дмитрий
Дата: 2011-04-21

Вы ищите площадь фигуры, ограниченной тремя точками на одной прямой??? То-есть - отрезка???

Комментарий добавил(а): валера
Дата: 2011-04-21

обалдеть

Комментарий добавил(а): валера
Дата: 2011-04-21

А где найти эту формулу определения площади равнобедренного треугольника?

Комментарий добавил(а): Вика
Дата: 2011-06-05

все правильно)))

Комментарий добавил(а): андрей
Дата: 2011-02-12

ответ совпадает

Комментарий добавил(а): Айнур
Дата: 2011-06-02

Ответ тоже совпал

Комментарий добавил(а): Колян
Дата: 2011-06-03

умничка!!! все правильно!!!

Комментарий добавил(а): Школница
Дата: 2011-12-01

Спасибо, сама бы не решила)))

Комментарий добавил(а): Солнышко
Дата: 2014-03-18

спасибо вам огромное! очень выручили :)

Добавить Ваш комментарий:
Яндекс.Метрика