Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). Исследование корней квадратного трёхчлена (вар. 151)

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Исследование корней квадратного трёхчлена (вар. 151)

имеет ровно два различных действительных корня.


Упростим выражение под корнем справа. 16 - (x - 4)2 = 8x - x2

Это позволяет нам ввести замену

Исследование корней квадратного трёхчлена (вар. 151)

Получим квадратное уравнение относительно t:

t2 - (3a - 3)t + a(2a - 3) = 0

Для каждого t из (0, 4) получим ровно два различных значения х.
Чтобы выполнялось условие задачи, наше квадратное уравнение
должно иметь один и только один корень на интервале (0, 4).
Кроме того, необходимо проверить все граничные значения.

Рассмотрим сначала условие того, что на интервале (0, 4)
квадратное уравнение имеет один и только один корень.

Исследование корней квадратного трёхчлена (вар. 151)

При этом значения функции f(t) = t2 - (3a - 3)t + a(2a - 3)
на концах интервала (0, 4) должны иметь разные знаки:



a(2a - 3)·(16 - 12(a - 1) + a(2a - 3)) < 0

a(2a - 3)·2(a2 - 15a + 28) < 0

a(2a - 3)·(a - 4)(2a - 7) < 0

18(C5). Исследование корней квадратного трёхчлена (вар. 151)

Проверим значения, при которых f(0)·f(4) = 0. Это 0; 1,5; 3,5; 4.
Проверим а = 3, при кот. корни квадратного уравнения совпадают.

====================================

Если а = 0, то корни квадратного уравнения t = 0; t = -3.
При t = 0 получаем два различных корня жёлтого уравнения.
При t = -3 жёлтое уравнение корней не имеет.

====================================

Если а = 1,5, то корни квадратного уравнения t = 0; t = 1,5.
При t = 0 получаем два различных корня жёлтого уравнения.
При t = 1,5 получаем ещё два корня.

====================================

Если а = 3,5, то корни квадратного уравнения t = 3,5; t = 4.
При t = 3,5 получаем два различных корня жёлтого уравнения.
При t = 4 получаем ещё один корень.

====================================

Если а = 4, то корни квадратного уравнения t = 4; t = 5.
При t = 4 получаем один корень жёлтого уравнения.
При t = 5 жёлтое уравнение корней не имеет.

====================================

Если а = 3, то корень квадратного уравнения один t = 3.
При t = 3 получаем два различных корня жёлтого уравнения.

====================================

Ответ: [0; 1,5); 3; (3,5; 4)

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 2613

Комментарии к этой задаче:

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика