Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

18(C5). Система имеет нечётное число решений (вар. 147)

Найдите все значения параметра b, при которых система

$\left\{ \begin{array}{lcl} cos(y-b)-2cosx=0 \\ log_{2}{(by-y^2)}=2log_{4}{(-x)}-log_{0,5}{(3y)}\\ \end{array} \right$

имеет нечётное число решений.

Для начала заметим, что система определена при x < 0, 0 < y < b.
Такое возможно лишь при положительных значения параметра b.

Система имеет нечётное число решений (вар. 147)

С учётом ограничений упростим второе уравнение системы:

$log_{2}{(by-y^2)}=log_{2}{(-x)}+log_{2}{(3y)}$

$log_{2}{(by-y^2)}=log_{2}{(-3xy)}$

$by-y^2=-3xy$

$b-y=-3x$

Первое уравнение системы лишается параметра и выглядит так:

$cos3x-2cosx=0$

$4cos^3x-3cosx-2cosx=0$

$cosx(4cos^2x-5)=0$

$cosx=0$

$x=\frac{\pi}{2}+{\pi}n$

Вот теперь наступает самое интересное. Сколько решений у системы?
Бесконечно много? Но на y (а значит, и на х) есть ограничения!!

$y=3x+b$

$0 < y < b$

$0 < 3x+b < b$

$-\frac{b}{3} < x < 0$

Представьте, что Вы решаете на ЕГЭ тригонометрическое уравнение
и отбираете корни на интервале. Левый конец интервала меняется.
Но заметьте! На окружности мы видим лишь хвост этого интервала.

18(C5). Система имеет нечётное число решений (вар. 147)

Необходимо, чтобы на этом хвосте оказалась лишь одна (нижняя) жёлтая точка.
Это происходит, если левый конец интервала лежит во 2-ой или 3-ей четверти.
Попадание левого конца на сами жёлтые точки следует проверить отдельно.

${-\frac{3\pi}{2}+2{\pi}n}\leq{-\frac{b}{3}}<{-\frac{\pi}{2}+2{\pi}n}$

${\frac{3\pi}{2}+6{\pi}n}<{b}\leq{\frac{9\pi}{2}+6{\pi}n}$