Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Логарифмическое неравенство. Замена и снова замена (вар. 147)

Решите неравенство

$\sqrt{7-log_{2}{x^2}}+log_{2}{x^4}>4$

Заметьте! Сразу выносить за знак логарифма оба показателя не надо.
Но второй логарифм преобразовать для будущей замены неплохо бы.

$\sqrt{7-log_{2}{x^2}}+2log_{2}{x^2}>4$

Логарифмическое неравенство. Замена и снова замена (вар. 147)

$\sqrt{7-p}+2p>4$

Есть несколько способов решить данное иррациональное неравенство:

-- Метод интервалов - безошибочный алгоритмичный способ.
-- Равносильный переход к совокупности двух систем.

Решим это неравенство третьим способом, сделав ещё одну замену

Логарифмическое неравенство. Замена и снова замена (вар. 147)

Выразим p: 7 - p = t², p = 7 - t².

$t + 2(7 - t^2) > 4$

$2t^2 - t - 10 < 0$

$-2 < t < \frac{5}{2}$

Вернёмся к переменной p:

$\sqrt{7-p}<\frac{5}{2}$

$0\leq7-p<\frac{25}{4}$

$-7\leq-p<-\frac{3}{4}$

$\frac{3}{4}<p\leq7$

Вернёмся к переменной х:

$\frac{3}{4}<log_{2}{x^2}\leq7$

$2^{\frac{3}{4}}<x^2\leq2^7$

$2^{\frac{3}{8}}<|x|\leq2^{\frac{7}{2}}$

$2^{\frac{3}{8}}<|x|\leq8\sqrt{2}$

${-8\sqrt{2}}\leq{x}<-2^{\frac{3}{8}}$

$2^{\frac{3}{8}}<x\leq8\sqrt{2}$