|
19(в). Решите в натуральных числах уравнение 19x + 97y = 4xy (вар. 144)
|
Решите в натуральных числах уравнение:19x + 97y = 4xy
Заметим, что х = 1, а также y = 1 уравнению не удовлетворяют.
1) Так как на х делятся (19х) и (4xy), то и (97y) делится на х.
a) Это возможно, когда х = 97р и y = mp, все числа натуральные.
19·(97р) + 97mp = 4·(97p)·(mp)
19 + m = 4mp
m(4p - 1) = 19
Произведение двух натуральных чисел простое. Вариантов мало.
(4p - 1) никогда не равен 1, но может быть равен 19 при р = 5.
p = 5; m = 1.
И получаем первую пару чисел (485; 5).
б) Кроме того, (97y) делится на х, если y делится на х.
Рассмотрим это немного позже...
2) Так как на y делятся (97y) и (4xy), то и (19x) делится на y.
а) Это возможно, когда y = 19k и x = nk, все числа натуральные.
19nk + 97·(19k) = 4·(nk)·(19k)
n + 97 = 4nk
n(4k - 1) = 97
Произведение двух натуральных чисел простое. Вариантов мало.
Число (4k - 1) никогда не равно 1 и никогда не равно 97.
Натуральных решений это уравнение не имеет.
б) Кроме того, (19х) делится на y, если x делится на y.
Рассмотрим это ... прямо сейчас
3) y делится на х, и x делится на y, только если x = y.
19x + 97x = 4x·x
19 + 97 = 4x
4x = 116
x = 29
y = 29
В результате получили всего две пары чисел: Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 5148
|
|
