Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Замена в показательном неравенстве (вар. 142)

Решите неравенство:

${\frac{(3^x-3)^3}{2\cdot{3^x-4}}}\leq{\frac{27^x-2\cdot{3^{2x+1}+3^{x+2}}}{3^x-9^x+2}}$

Сделаем очевидную замену 3^x = t, t > 0. Перепишем неравенство:

${\frac{(t-3)^3}{2t-4}}\leq{\frac{t^3-6t^2+9t}{t-t^2+2}}$

${\frac{(t-3)^3}{2(t-2)}}\leq{-\frac{t(t^2-6t+9)}{t^2-t-2}}$

${\frac{(t-3)^3}{2(t-2)}+\frac{t(t-3)^2}{(t-2)(t+1)}}\leq0$

${\frac{(t+1)(t-3)^3+2t(t-3)^2}{2(t-2)(t+1)}}\leq0$

${\frac{(t-3)^2((t+1)(t-3)+2t)}{2(t-2)(t+1)}}\leq0$

${\frac{(t-3)^2(t^2-3)}{2(t-2)(t+1)}}\leq0$

${\frac{(t-3)^2(t-\sqrt{3})(t+\sqrt{3})}{2(t-2)(t+1)}}\leq0$

Уберём все положительные множители, не влияющие на знак:

${\frac{(t-3)^2(t-\sqrt{3})}{t-2}}\leq0$

Заметим, что t = 3 (а значит, х = 1) неравенству удовлетворяет.
А если t ≠ 3, то (t - 3)² > 0. И неравенство перепишем так:

${\frac{t-\sqrt{3}}{t-2}}\leq0$

$\sqrt{3}\leq{t}<2$

$\sqrt{3}\leq{3^x}<2$

$0,5\leq{x}<log_{3}{2}$

$[0,5; log_{3}{2}); 1$ ;