Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

13(C1). Сведение уравнения к виду cosx = cosy (вар. 140)

$sinx(4sinx-1)=2+\sqrt{3}cosx$

а) Решите уравнение;
б) Найдите его корни на [-3,5π; -2π].

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$4sin^2{x}-sinx=2+\sqrt{3}cosx$

$4sin^2{x}-2=sinx+\sqrt{3}cosx$

Обратите внимание на правую часть и коэффициенты при sinx и cosx.
Поделим обе части уравнения на 2, коэффициенты станут ещё лучше.

$2sin^2{x}-1={\frac{1}{2}}\cdot{sinx}+{\frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot{cosx}$

Правую часть можно свести к синусу или к косинусу. Что же выбрать?
Зависит от левой части. Её можно привести к косинусу двойного угла.

$2sin^2{x}-sin^2{x}-cos^2{x}={sin{\frac{\pi}{6}}}\cdot{sinx}+{cos{\frac{\pi}{6}}}\cdot{cosx}$

$sin^2{x}-cos^2{x}={cos(x-\frac{\pi}{6})}$

$-cos2x={cos(x-\frac{\pi}{6})}$

Можно перенести косинусы вправо и применить формулу cosx + cosy.
Но я не знаю эту формулу и приведу уравнение к виду cosx = cosy.

$cos(\pi-2x)={cos(x-\frac{\pi}{6})}$

Косинусы равны в случаях, если аргументы равны или противоположны:

$\pi-2x=x-\frac{\pi}{6}+2\pi{n}$ $\pi-2x=\frac{\pi}{6}-x+2\pi{n}$

$x=\frac{7\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}{n}$ $x=\frac{5\pi}{6}+2\pi{n}$

Изобразим все решения на единичной окружности:

13(C1). Сведение уравнения к виду cosx = cosy (вар. 140)

Данный в условии отрезок сместим на 4π вправо, получим [0,5π 2π].
Отберём сначала корни уравнения на новом отрезке.

Затем сдвинем их на 4π назад (отнимем от каждого корня 4π).

13(C1). Сведение уравнения к виду cosx = cosy (вар. 140)