Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция (вар. 139)

В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция с острым углом 45°.
Боковые грани РАВ и РСD перпендикулярны основанию пирамиды.
а) Докажите, что плоскости РАВ и PCD перпендикулярны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно,
что ВС=6, АD=12, а объем пирамиды равен 27.


Как вообразить боковые грани такой пирамиды? Где находится её вершина?
Нарисуйте для начала на листе бумаги равнобедренную трапецию:

В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция (вар. 139)

Представим, что мы видим пирамиду сверху. Положите рёбра ладоней
на стороны АВ и DC. Ладони перпендикулярны нарисованной трапеции.
Это и есть боковые грани пирамиды. Пересеките их, соединив ладони.
Увидели ли Вы, по какой прямой пересекаются боковые грани?

В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция (вар. 139)

Продлите боковые стороны АВ и DC трапеции и в полученную точку Е
вбейте не до конца гвоздь. Шляпка гвоздя - это вершина пирамиды Р.

Найдём угол между ладонями - боковыми гранями пирамиды.
Ребро двугранного угла - это и есть вбитый не до конца гвоздь.
Оно перпендикулярно плоскости трапеции, а значит, и боковым
сторонам трапеции. Угол АЕD - линейный угол двугранного угла.
Он равен 90°. Значит, боковые грани пирамиды перпендикулярны.

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, надо сложить
площади четырёх боковых граней, каждая из которых - треугольник.
Для начала раскрутим данную по условию равнобедренную трапецию:

14(C2). В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция (вар. 139)

Площадь трапеции S = 9 · 3 = 27. Объём пирамиды тоже равен 27.
Значит, высота пирамиды РЕ (длина вбитого гвоздя) равна 3.

У левой и правой боковых граней основания известны, высота 3.





У дальней грани основание 6, а высота - расстояние от Р до ВС.
Это расстояние находим из прямоугольного треугольника РЕТ:



У ближней грани основание 12, а высота - расстояние от Р до AD.
Это расстояние находим из прямоугольного треугольника РЕН:



Найдём теперь площади дальней и передней граней:





Складывая получившиеся результаты, получим ответ:



14(C2). В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция (вар. 139)

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 4922

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2016-03-23

Боковые грани перпендикулярны основанию пирамиды

Комментарий добавил(а): училка
Дата: 2016-01-16

Спасибо за рисунок.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика