Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты (вар. 139)

В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС проведены высоты
АА1 и СС1. Точки А2 и С2 симметричны середине стороны АС относительно
прямых ВС и АВ соответственно.
а) Докажите, что отрезки А1А2 и С1С2 лежат на параллельных прямых. 
б) Найдите расстояние между А2 и С2, если известно, что АВ=7, ВС=6, СА=5.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты (вар. 139)

Докажем сначала, что четырёхугольник А1А2СF является параллелограммом.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты (вар. 139)

1) FP ⊥ BC по определению осевой симметрии, АА1 ⊥ ВС по условию.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. FP || AA1.

2) По т. Фалеса точка Р поделит СА1 пополам. СР = РА1.

3) FР = РА2 по определению осевой симметрии.

Итак, в четырёхугольнике А1А2СF диагонали пересекаются и в точке
пересечения делятся пополам. Значит, А1А2СF - параллелограмм.

По определению параллелограмма А2А1 || CF. Аналогично С2С1 || AF.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны, А2А1 || С2С1, ч.т.д.
(факт, что четырёхугольник А1А2СF является ромбом, нам НЕ нужен)



Чтобы найти длину А2С2, применим теорему косинусов в треугольнике А22:

16(C4). В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты (вар. 139)

Для этого нам понадобятся длины сторон FA2 и FC2 и косинус угла A2FC2.
Косинус угла F противоположен косинусу угла В (сумма углов равна 180°).
А стороны FA2 и FC2 равны высотам треугольника АВС. Покажем это.

16(C4). В остроугольном неравнобедренном треугольнике проведены высоты (вар. 139)

Т.к. А1А2СF параллелограмм, то А1А2 = СF. Но CF = FA. Следовательно, А1А2 = АF.
Т.к. А1А2 = АF и А1А2 || АF, то А2А1АF - параллелограмм по признаку пар-мма.
Значит, FА2 = AА1 по свойству параллелограмма. Аналогично, FС2 = СС1.

Чтобы найти высоты треугольника, найдём его площадь по формуле Герона.









Мы знаем высоты треугольника АВС, а значит, стороны треугольника FA2C2.

По теореме косинусов в треугольнике АВС найдём косинус угла В:







Осталось применить теорему косинусов в треугольнике А22:







Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 2733

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): училка
Дата: 2016-01-16

Спасибо. Мне грустно.

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика