Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Сложное неравенство. Используем сопряжённое (вар. 138)

Решите неравенство:

${\sqrt{1+x^2}-x}\leq{\frac{5}{2\sqrt{1+x^2}}}$

=======================================

Заметим, что

$(\sqrt{1+x^2}-x)(\sqrt{1+x^2}+x)=1+x^2-x^2=1$

Заметим, кроме того, что оба множителя положительны:

$\sqrt{1+x^2}-x>\sqrt{x^2}-x=|x|-x\geq0$

$\sqrt{1+x^2}+x>\sqrt{x^2}+x=|x|+x\geq0$

=======================================

Перепишем неравенство, заменив левую часть:

${\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}}\leq{\frac{5}{2\sqrt{1+x^2}}}$

${\frac{5}{5\sqrt{1+x^2}+5x}}\leq{\frac{5}{2\sqrt{1+x^2}}}$

Так как обе части неравенства положительны, то оно равносильно:

${5\sqrt{1+x^2}+5x}\geq{2\sqrt{1+x^2}}$

${3\sqrt{1+x^2}}\geq{-5x}$

1)Если x ≥ 0, то неравенство выполняется.
2)Если x < 0, то неравенство равносильно неравенству:

${9(1+x^2)}\geq{25x^2}$

$16x^2\leq9$

$4|x|\leq3$

$-4x\leq3$

$-\frac{3}{4}\leq{x}<0$

Ответ: $[-0,75; +\infty)$