Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Показательное неравенство с квадратичным показателем (вар. 137)

Решите неравенство

${2^{2x-x^2-1}+\frac{1}{2^{2x-x^2}-1}}\leq2$

Заметим, что первая степень в два раза меньше второй степени:

$2^{2x-x^2}=2^{2x-x^2-1}\cdot2$

Поэтому первую степень обозначим буквой t, а вторую 2t.

Показательное неравенство с квадратичным показателем (вар. 137)

${t+\frac{1}{2t-1}}\leq2$

${\frac{2t^2-5t+3}{2t-1}}\leq0$

${\frac{(t-1)(t-1,5)}{t-0,5}}\leq0$

Получаем, что 0 < t < 0,5 или 1 ≤ t ≤ 1,5

Решим первое неравенство:

$2^{2x-x^2-1}<\frac{1}{2}$

$2^{2x-x^2-1}<2^{-1}$

${2x-x^2-1}<{-1}$

$x^2-2x>0$

$x<0; x>2$

Решим второе неравенство (систему неравенств):

$\left\{ \begin{array}{lcl} 2^{2x-x^2-1}\geq1 \\ 2^{2x-x^2-1}\leq{\frac{3}{2}} \\ \end{array}$ $\left\{ \begin{array}{lcl} {2x-x^2-1}\geq0 \\ {2x-x^2-1}\leq{log_{2}{\frac{3}{2}}} \\ \end{array}$

$\left\{ \begin{array}{lcl} {x^2-2x+1}\leq0 \\ {2x-x^2-1}\leq{log_{2}{3}-1} \\ \end{array}$ $\left\{ \begin{array}{lcl} {(x-1)^2}\leq0 \\ {log_{2}{3}}\geq{2x-x^2} \\ \end{array}$

Решением первого неравенства системы является лишь х = 1.
Проверим, что это число удовлетворяет второму неравенству.

${log_{2}{3}}\geq{2-1}=1$

Значит, х = 1 - решение второй системы.

Ответ: $(-\infty; 0); 1; (2; +\infty)$