Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Приведение всех логарифмов к основанию 2 (вар. 106)

Решите неравенство:

${log_{4x}{2x}-log_{2x^2}{4x^2}}\geq{-\frac{3}{2}}$

Очевидно, что неравенство имеет смысл только при положительных х.
Приведём оба логарифма к основанию 2, а затем прологарифмируем:

$\frac{log_{2}{(2x)}}{log_{2}{(4x)}}-\frac{log_{2}{(4x^2)}}{log_{2}{(2x^2)}}\geq{-\frac{3}{2}}$

Логарифмируя, сразу сделаем замену log₂x = t

${\frac{1+t}{2+t}-\frac{2+2t}{1+2t}}\geq{-\frac{3}{2}}$

${\frac{(2t+1)(t+1)-2(t+1)(t+2)}{(t+2)(2t+1)}}\geq{-\frac{3}{2}}$

${\frac{(t+1)(2t+1-2t-4)}{(t+2)(2t+1)}}\geq{-\frac{3}{2}}$

${\frac{t+1}{(t+2)(2t+1)}}\leq{\frac{1}{2}}$

${\frac{2t+2-2t^2-5t-2}{2(t+2)(2t+1)}}\leq{0}$

${\frac{2t^2+3t}{(t+2)(2t+1)}}\geq{0}$

${\frac{t(2t+3)}{(t+2)(2t+1)}}\geq{0}$

17(C3). Приведение всех логарифмов к основанию 2 (вар. 106)

$1)log_{2}{x}<-2$

$0<x<\frac{1}{4}$

$2)-\frac{3}{2}\leq{log_{2}{x}}<-\frac{1}{2}$

${2^{-\frac{3}{2}}}\leq{x}<{2^{-\frac{1}{2}}}$

${{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}\leq{x}<{{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}}$

${\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\leq{x}<\sqrt{\frac{1}{2}}$

${\frac{\sqrt{2}}{4}}\leq{x}<\frac{\sqrt{2}}{2}$

$3){log_{2}{x}}\geq{0}$

$x\geq{1}$

Ответ: $(0; \frac{1}{4});[\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{2});[1;+\infty)$