Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Знак числителя в зависимости от знака знаменателя (вар. 105)

Решите неравенство

${\frac{log_{2}{({2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9)}}{{x+3}}}\leq{1}$

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

${2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9>0$

Сделав очевидную замену и решив квадратное неравенство, получим:

2^х < 1 или 2^х > 4,5

Учтём теперь, что х ≠ -3 и решим неравенство на трёх интервалах:

x < -3 -3 < x < 0 x > log₂4,5

На первом знаменатель отрицателен, на двух других - положителен.
Умножим неравенство на знаменатель, меняя (или не меняя) знак.

====================================

1) Если x < -3, то

${log_{2}{({2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9)}\geq{x+3}$

${{2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9}\geq{2^{x+3}}$

${{2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9}\geq{{8}\cdot{2^x}}$

${{2}\cdot{4^x}-{19}\cdot{2^x}+9}\geq{0}$

Сделав очевидную замену и решив квадратное неравенство, получим:

2^х ≤ 0,5 или 2^х ≥ 9

Это означает, что любое х, меньшее трёх, нас устраивает.

====================================

2) Если -3 < x < 0, то

${log_{2}{({2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9)}\leq{x+3}$

${{2}\cdot{4^x}-{19}\cdot{2^x}+9}\leq{0}$

${0,5}\leq{2^x}\leq{9}$

${-1}\leq{x}\leq{log_{2}{9}}$

Это значит, что из интервала (-3; 0) нас устраивают х, которые

${-1}\leq{x}<0$

====================================

3) Если 2^х > 4,5

${log_{2}{({2}\cdot{4^x}-{11}\cdot{2^x}+9)}\leq{x+3}$

${0,5}\leq{2^x}\leq{9}$

И учитывая, что 2^х > 4,5, получаем

$4,5<{2^x}\leq{9}$

$log_{2}{(\frac{9}{2})}<{x}\leq{log_{2}{9}}$

$log_{2}{9}-1<{x}\leq{log_{2}{9}}$

$2log_{2}{3}-1<{x}\leq{2log_{2}{3}}$

====================================

Ответ: x < -3; -1 ≤ x < 0 2log₂3 - 1 < x ≤ 2log₂3