Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)

В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований ВС и АD
соответственно. Отрезки АМ и ВN пересекаются в точке Р,
а отрезки DМ и СN пересекаются в точке К.
а) Докажите, что площадь четырехугольника РМКN равна сумме площадей
треугольников АВР и DСК.
б) Найдите площадь четырехугольника РМКN, если известно, что
ВС = 8, АD = 18, АВ = СD = 13.

В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)

Разрежем трапецию по прямой MN и рассмотрим две новые трапеции:

В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)                    В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)



Площади треугольников ABN и AMN равны, т.к. у них равны основания и высоты.
Если из каждой площади вычесть площадь их общей части (треугольника APN),
то мы получим, что площади цветных треугольников АВР и NMP тоже равны.
Аналогичные рассуждения проведём и для пары треугольников NMK и DCK.

Четырёхугольник РМКN состоит треугольников NMP и NMP, пункт а) доказан.
!!! положение точек M и N на основаниях трапеции значения пока не имело.

=============================================

Теперь учтём, что М и N – середины оснований. Тогда MN - ось симметрии трапеции.
Рассмотрим прямоугольную трапецию АВMN, по данным задачи найдём её высоту 12.

18(C4). В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)

Треугольники ВРМ и NРА подобны, их соответствующие стороны относятся как 4:9.
Значит, площади этих треугольников относятся как 16:25, обозначим их 16х и 25х.

Треугольники МВР и АВР имеют общую высоту, их площади относятся как основания,
т.е. 4:9. Значит, площадь АВР равна 36х. Треугольник PMN имеет такую же площадь.

18(C4). В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)

Площадь прямоуг. треугольника AMN равна 0,5·9·12 = 54. Она же равна 117х.

18(C4). В равнобедренной трапеции АВСD точки М и N – середины оснований (вар. 103)







Площадь четырехугольника РМКN равна 72х.



Ответ:

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 5832

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Александр
Дата: 2015-03-31

Четырёхугольник РМКN состоит треугольников NMP и NMP, пункт а) доказан.

Комментарий добавил(а): Артур
Дата: 2015-05-31

Объясните, почему площадь треугольников BPA и MPN равна 36x ?

Комментарий добавил(а): алиса
Дата: 2015-05-05

ошибка: площади треугольников относятся 16:81

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика