Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

18(C5). Ровно четыре целочисленных решения (вар. 102)

Найдите все а, при каждом из которых неравенство

$(x^2+y^2-3)(x^2+y^2-a)<0$

имеет ровно четыре целочисленных решения (x; y).

При отрицательных а неравенство равносильно неравенству

$x^2+y^2-3<0$

Ему удовлетворяют целые пары (x; y), для которых

$x^2+y^2=2$

$x^2+y^2=1$

$x^2+y^2=0$

Очевидно, что таких пар больше, чем четыре (проверьте).

Если а = 0, то ситуация почти аналогична предыдущей.

Если а = 3, то решений у неравенства не будет совсем.

===================================

Если 0 < а < 3, неравенство равносильно двойному неравенству

$a < x^2+y^2 < 3$

Сумма квадратов имеет право принять лишь значение 2.

Мы получим ровно четыре целочисленных решения:

(1; 1); (-1; 1); (1; -1); (-1; -1).

Это значит, что а не должно оказаться меньше единицы.

$1\leq{a}<3$

===================================

Если a > 3, неравенство равносильно двойному неравенству

$3 < x^2+y^2 < a$

Сумма квадратов имеет право принять лишь значение 4.

Мы получим ровно четыре целочисленных решения:

(2; 0); (-2; 0); (0; -12; (0; -2).

Это значит, что а не должно оказаться больше пяти.

С другой стороны, а должно оказаться больше четырёх

$4<{a}\leq{5}$

Ответ: [1; 2); (4; 5]