Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются... (вар. 101)

В остроугольном треугольнике АВС высоты АА1 и СС1 пересекаются в точке О.
а) Докажите, что треугольники АОС и С1ОА1 подобны.
б) Найдите площадь четырехугольника АСА1С1, если известно,
что угол АВС равен 30°, a площадь треугольника АВС равна 80.

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются... (вар. 101)

Обратим внимание на два прямоугольных треугольника с гипотенузой АС.
Так и хочется описать вокруг них окружность, центр её - середина АС.

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются... (вар. 101)

И тут всеми красками заиграют вписанные углы, опирающиеся на дуги.
Красные углы - на красную дугу, зелёные - зелёную. Вписанные углы,
опирающиеся на одну дугу, равны. Имеем две пары равных углов.

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются... (вар. 101)

Подобие треугольников по двум углам доказано. Можно было использовать
и вертикальные углы вместо одной пары вписанных.

По ходу дела можно тут же доказать и подобие других треугольников:
АВС и А1ВС1. У них есть общий угол и ∠ВС1А1 = ∠ВСА, т.к. каждый
из них в сумме с углом АС1А1 даёт 180°.



Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон.



Отношение площадей треугольников равно квадрату коэфф. подобия:



Это означает, что площадь маленького треугольника составляет 3/4
от площади большого. А это значит, что площадь четырёхугольника
АСА1С1 составляет 1/4 от площади треугольника АВС, т.е. от 80.

Ответ: 20

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 17744

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): валерий
Дата: 2016-04-25

огромное спасибо сам не додумался

Комментарий добавил(а): Ирина
Дата: 2016-03-30

Замечательное, простое и наглядное решение! Огромное спасибо!

Комментарий добавил(а): Миша
Дата: 2015-10-26

Спасибо.

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-25

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика