Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

18(C5). Любой корень уравнения находится в промежутке [1;2] (вар. 101)

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет решения

$a^x+1-a^2=log_{a}{\frac{1}{x}}$

Причём, любой его корень находится в промежутке [1;2].

Запишем уравнение по-другому:

$a^x+log_{a}{x}=a^2-1$

Рассмотрим два возможных случая:

1) a > 1. При этом показательная и логарифмическая функции возрастают.
Значит, возрастает и их сумма. При этом возрастает эта сумма от "минус
бесконечности" до "плюс бесконечности" (такова её область значений).

Поэтому корень уравнения найдётся при любом значении а (любая
горизонтальная прямая y = a² - 1 пересечёт график функции).

Но чтобы этот корень оказался точно на отрезке [1;2], число (a² - 1)
должно оказаться на области значений функции на этом отрезке.

Оценим функцию на данном отрезке:

$1\leq{x}\leq2$

$a\leq{a^x}\leq{a^2}$

$0\leq{log_{a}{x}}\leq{log_{a}{2}}$

$a\leq{a^x+log_{a}{x}}\leq{a^2+log_{a}{2}}$

Потребуем, чтобы число (a² - 1) оказалось в тех же пределах:

$a\leq{a^2-1}\leq{a^2+log_{a}{2}}$

Решив систему неравенств, получим результат:

$a\geq{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

2) 0 < a < 1. При этом показательная и логарифмическая функции убывают.
Значит, убывает и их сумма. Дальше рассуждаем аналогично...

$1\leq{x}\leq2$

$a^2\leq{a^x}\leq{a}$

${log_{a}{2}}\leq{log_{a}{x}}\leq0$

${a^2+log_{a}{2}}\leq{a^x+log_{a}{x}}\leq{a}$

Потребуем, чтобы число (a² - 1) оказалось в тех же пределах:

${a^2+log_{a}{2}}\leq{a^2-1}\leq{a}$

Решив систему неравенств, получим результат:

$0,5\leq{a}<{1}$

Объединив результаты, получим ответ:

$0,5\leq{a}<{1}$ $a\geq{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$