Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Две окружности касаются внешним образом в точке А (вар. 97)

Две окружности касаются внешним образом в точке А. Прямая касается первой
окружности в точке В, а второй – в точке С.
a) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если радиусы окружностей 8 и 2.

Две окружности касаются внешним образом в точке А (вар. 97)

Проводя касательные к окружности, не забывайте отмечать ПРЯМЫЕ (!) углы,
которые касательная образует с радиусами, проведёнными в точки касания.

Две окружности касаются внешним образом в точке А (вар. 97)

ТА и ТС - касательные, проведённые из одной точки Т к маленькой окружности.
ТА и ТВ - касательные, проведённые из одной точки Т к большой окружности.
По свойству касательных ТА = ТС и ТА = ТВ. Получаем, что ТС = ТВ = ТА.

Таким образом, АТ - медиана треугольника АВС, которая равна половине ВС -
стороны, к которой она проведена. Значит, треугольник АВС - прямоугольный.
(т. Т равноудалена от вершин треугольника, т.е. является центром описанной
около АВС окружности. ВС - её диаметр, на диаметр опирается прямой угол).

Чтобы найти площадь треугольника АВС, проведём стандартные вычисления.
В прямоугольной трапеции опустим высоту из вершины тупого угла. Найдём её.

18(C4). Две окружности касаются внешним образом в точке А (вар. 97)

В треугольнике АВС знаем сторону ВС. Для полного счастья не хватает высоты АН.

18(C4). Две окружности касаются внешним образом в точке А (вар. 97)

Разобьём её на два отрезка АК и КН и найдём каждый из цветных треугольников.

18(C4). Две окружности касаются внешним образом в точке А (вар. 97)

Воспользуемся при этом попарным подобием треугольников и данными задачи:







Осталось найти площадь, зная гипотенузу треугольника и высоту, проведённую к ней:



Ответ: 12,8

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 29215

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Tатьяна
Дата: 2015-01-22

Откуда HK= (1/5)x O2B ?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-01-22

Татьяна, рассмотрите подобные треугольники СНК и СВО2.

Комментарий добавил(а): Юлия
Дата: 2015-02-04

не понимаю как из подобия СНК и СВО2 нашли НК. мы же не знаем там отрезки

Комментарий добавил(а): Юлия
Дата: 2015-02-04

всё, поняла:)

Комментарий добавил(а): рита
Дата: 2015-03-31

спасибо большое

Комментарий добавил(а): вариант 97
Дата: 2015-03-18

Можно искать площадь и не через подобие треугольников, из треуг. О2О1Н находим cosО1О2В, затем по теореме косинусов находим АВ, после по теореме Пифагора находим АС, и ищем площадь, как половину произведения катетов.

Комментарий добавил(а): Дмитрий
Дата: 2016-02-05

Как найдено Ch????

Комментарий добавил(а): ник
Дата: 2015-11-02

Круто

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика