Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К (вар. 95)

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что СК : ВК = 1 : 2.
Точка Е – середина стороны АВ. Отрезки СЕ и АК пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что треугольники ВРС и АРС имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь
треугольника АВС равна 120.

Утверждение пункта а) выполняется независимо от положения точки Р на медиане СЕ.

18(C4). В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что ...

Медиана всегда делит треугольник на два равновеликих треугольника (почему?).
Площади треугольников ВСЕ и АСЕ равны (СЕ - медиана треугольника АВС).
Площади треугольников ВРЕ и АРЕ равны (РЕ - медиана треугольника АВР).
Поэтому и площади треугольников ВРС и АРС равны как разности (чего?).

Но для решения пункта б) нам понадобится полное условие.

Отрезок РЕ делит площадь треугольника АРВ в отношении 1 : 1.
Отрезок РК делит площадь треугольника ВРС в отношении 2 : 1.



Мы доказали, что площадь треугольника АРС равна площади ВРС.

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что ...

Отрезок РК делит площадь треугольника АВС в отношении 2 : 1.

В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что ...

Получаем следующую связку между введёнными переменными х и y:

18(C4). В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что ...

Отсюда получаем, что х = 3y. Площадь треугольника АВС равна 12y.
Так как по условию площадь треугольника АВС равна 120, то y = 10.
Теперь легко найти и площадь треугольника АВР, которая равна 6y.

18(C4). В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка К так, что ...

Ответ: 60

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8997

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): калерия
Дата: 2014-12-14

вот теперь всё понятно. Спасибо!

Комментарий добавил(а): Наталия
Дата: 2014-12-14

А не проще ли провести отрезок ЕМ, параллельно АК, доказать, что Р середина ЕС. Площадь АСЕ половина площади АВС, площадь АРЕ половина площади АСЕ

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-12-18

Наталия, есть миллион разных способов. Мне нравится тот, который я представила :)

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика