Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

В треугольнике ABC AB = 20, AC = 24. Окружность с центром O2 на стороне AC
проходит через вершину С, точку пересечения биссектрисы угла А со стороной
BC и центр O1 вписанной в треугольник ABC окружности.
а) Докажите, что прямая O1O2 параллельна прямой BC;
б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Центр O1 вписанной в треугольник АВС окружности - точка пересечения биссектрис
треугольника, т.е. O1 лежит на биссектрисе АР, и СO1 - биссектриса угла С.

Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

Вторая окружность проходит через точки O1 и С, значит, её центр O2 лежит
на серединном перпендикуляре к отрезку O1С. По условию O2 лежит и на АС.

Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

O2 равноудалена от точек O1 и С, треугольник O1O2С равнобедренный,
углы при основании равнобедренного треугольника равны (∠2 = ∠3).

Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

Итак, ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. Значит, ∠1 = ∠3. Т.к. внутренние накрест лежащие
углы при прямых O1O2 и ВС и секущей O1С равны, то прямые параллельны
по признаку параллельности прямых, что и требовалось доказать.

*** Заметьте! Факт прохождения окружности через точку Р был здесь лишним.
И условие о том, что АР является биссектрисой, мы тоже ещё не использовали.

Но для дальнейшего решения точку Р необходимо использовать. Заметим, что
треугольники O1O2Р и ТСO2 равны по двум сторонам и углу между ними.

18(C4). Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

Зелёный является равнобедренным, его боковые стороны - радиусы окружности.
В сером биссектриса является высотой, и его боковые стороны равны радиусу.

Легко заметить, что углы между боковыми сторонами в треугольниках равны.
Угол 1 - вписанный и равен половине красной дуги, на которую он опирается,
а значит, половине центрального угла 4. Но ∠1 = ∠2, поэтому ∠1 + ∠2 = ∠4.

Из равенства треугольников следует равенство их оснований O1Р = O2Т,
а также углов при основании. Точка Р, таким образом, свою роль сыграла.

Используем теперь доказанную параллельность прямых O1O2 и ВС.

18(C4). Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

По свойству параллельных прямых α = γ. А так как α = β, то β = γ.
Используем, наконец, равенство голубых углов ВАР и САР.

18(C4). Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

Треугольники ВАР и O2АР равны стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, РВ = РO2 как соответствующие. И появляется на сцене ...

18(C4). Окружность с центром на стороне AC проходит через вершину С (вар. 94)

... третий серый треугольник ВO1Р. Он равен треугольнику O1РO2 по двум
сторонам и углу между ними. ∠O1ВР = ∠АСТ как соответствующие. Но!
Угол O1ВР равен половине угла АВС. В треугольнике АВС ∠В = 2·∠С.

Использовать этот факт можно с помощью теоремы синусов:













Для поиска же радиуса описанной окружности требуется синус угла С:











Ответ: 12,5

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8337

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наталия
Дата: 2014-12-05

Красиво! Спасибо.

Комментарий добавил(а): Виктория
Дата: 2015-01-01

Красивые рисунки, подскажите в каком редакторе

Комментарий добавил(а): Александра
Дата: 2015-01-27

Все ясно и понятно) спасибо вам огромное!

Комментарий добавил(а): Ученик
Дата: 2016-05-18

Прикольно

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика