Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

В треугольнике ABC AB = 20, AC = 24. Окружность с центром O₂ на стороне AC
проходит через вершину С, точку пересечения биссектрисы угла А со стороной
BC и центр O₁ вписанной в треугольник ABC окружности.
а) Докажите, что прямая O₁O₂ параллельна прямой BC;
б) Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Центр O₁ вписанной в треугольник АВС окружности - точка пересечения биссектрис
треугольника, т.е. O₁ лежит на биссектрисе АР, и СO₁ - биссектриса угла С.



Вторая окружность проходит через точки O₁ и С, значит, её центр O₂ лежит
на серединном перпендикуляре к отрезку O₁С. По условию O₂ лежит и на АС.



O₂ равноудалена от точек O₁ и С, треугольник O₁O₂С равнобедренный,
углы при основании равнобедренного треугольника равны (∠2 = ∠3).



Итак, ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. Значит, ∠1 = ∠3. Т.к. внутренние накрест лежащие
углы при прямых O₁O₂ и ВС и секущей O₁С равны, то прямые параллельны
по признаку параллельности прямых, что и требовалось доказать.

*** Заметьте! Факт прохождения окружности через точку Р был здесь лишним.
И условие о том, что АР является биссектрисой, мы тоже ещё не использовали.

Но для дальнейшего решения точку Р необходимо использовать. Заметим, что
треугольники O₁O₂Р и ТСO₂ равны по двум сторонам и углу между ними.



Зелёный является равнобедренным, его боковые стороны - радиусы окружности.
В сером биссектриса является высотой, и его боковые стороны равны радиусу.

Легко заметить, что углы между боковыми сторонами в треугольниках равны.
Угол 1 - вписанный и равен половине красной дуги, на которую он опирается,
а значит, половине центрального угла 4. Но ∠1 = ∠2, поэтому ∠1 + ∠2 = ∠4.

Из равенства треугольников следует равенство их оснований O₁Р = O₂Т,
а также углов при основании. Точка Р, таким образом, свою роль сыграла.

Используем теперь доказанную параллельность прямых O₁O₂ и ВС.



По свойству параллельных прямых α = γ. А так как α = β, то β = γ.
Используем, наконец, равенство голубых углов ВАР и САР.



Треугольники ВАР и O₂АР равны стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, РВ = РO₂ как соответствующие. И появляется на сцене ...



... третий серый треугольник ВO₁Р. Он равен треугольнику O₁РO₂ по двум
сторонам и углу между ними. ∠O₁ВР = ∠АСТ как соответствующие. Но!
Угол O₁ВР равен половине угла АВС. В треугольнике АВС ∠В = 2·∠С.

Использовать этот факт можно с помощью теоремы синусов:













Для поиска же радиуса описанной окружности требуется синус угла С:











Ответ: 12,5

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 11827