Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Ступенчатое логарифмическое неравенство (вар. 93)

Решите неравенство

${\frac{log_{2^{x+3}}{4}}{log_{2^{x+3}}{(-4x)}}}\leq{\frac{1}{log_{2}{(log_{\frac{1}{2}}{2^x})}}}$

Можно ли в левой части избавиться от показателя в основании логарифма?
Иначе говоря, можно ли в числителе и знаменателе применить формулу:

$log_{a^m}{b}={\frac{1}{m}}\cdot{log_{a}{b}}$

Можно. Но лишь при условии, что основание 2^{х + 3} отлично от единицы,
и значит, выражение (х + 3) ≠ 0. Требуем таким образом, чтобы

17(C3). Ступенчатое логарифмическое неравенство (вар. 93)

При таком условии формулу применяем и дробь легко сокращаем:

$\frac{log_{2}{4}}{log_{2}{(-4x)}}\leq{\frac{1}{log_{2}{(log_{2^{-1}}{2^x})}}}$

Логарифмируем выражение (-4х) и упрощаем правую часть:

${\frac{2}{2+log_{2}{(-x)}}}\leq{\frac{1}{log_{2}{(-x)}}}$

Делаем очевидную замену переменной и решаем неравенство:

$\frac{2}{t+2}\leq\frac{1}{t}$

$\frac{t-2}{t(t+2)}\leq{0}$

17(C3). Ступенчатое логарифмическое неравенство (вар. 93)

$t < -2$                                          $0<t\leq{2}$

$log_{2}{(-x)} < -2$                            $0<log_{2}{(-x)}\leq{2}$

$0<-x<2^{-2}$                                $2^0<-x\leq{2^2}$

$0<x<\frac{1}{4}$                                       $1<-x\leq4$

$-\frac{1}{4}<x<0$                                   $-4\leq{x}<-1$

Не забываем о важном условии

17(C3). Ступенчатое логарифмическое неравенство (вар. 93)

Ответ: [-4; -3); (-3; -1); (-0,25; 0)