Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система



имеет ровно одно решение.

Значение а = 0 можно проверить сходу и далее рассматривать а ≠ 0.

Преобразуем первое уравнение системы:







Сдвинем все графики на единичку вниз, чтобы парабола стала удобнее.
Решение, постановка вопроса и ответ на него от сдвига не изменятся.



Построим два луча y = 6 и y = 6 - x при x ≥ 3 и параболу y = ax².
Если ветви параболы направлены вверх, возможны три варианта:

1) Парабола не пересекает ни один из лучей (например, y = x², y = 2x²):



2) Парабола проходит через начало верхнего луча y = 6, т.е. через точку (3; 6):



3) Парабола проходит через начало нижнего луча y = 6 - x, т.е. через точку (3; 3):



В первом случае (a > 2/3) система не имеет решений, во втором случае (a = 2/3)
решение единственно, в третьем случае (a = 1/3) решений ровно два.

Очевидно, что если 0 < a < 1/3, то решений тоже два. Единственное решение
будет у системы и в случае, если 1/3 < a < 2/3 (например, y = 0,5x²):



Если ветви параболы направлены вниз, то пересечь верхний луч (y = 6)
она не сможет, а нижнего луча (y = 6 - x) имеет право лишь коснуться.



Чтобы найти значение параметра а, при котором происходит касание,
достаточно потребовать, чтобы квадратное уравнение





имело единственное решение, не меньшее трёх.







При найденном а найдём корень (он не должен оказаться меньше трёх):







Ответ: ;

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 14823