Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Равносильные преобразования логарифмического неравенства (вар. 92)

Решите неравенство

${log_{x}{(1-2x)}}\leq{3-log_{(\frac{1}{x}-2)}{x}}$

${log_{x}{(1-2x)}}\leq{3-\frac{1}{log_{x}{(\frac{1}{x}-2)}}}$

${log_{x}{(1-2x)}}\leq{3-\frac{1}{log_{x}{(\frac{1-2x}{x})}}}$

${log_{x}{(1-2x)}}\leq{3-\frac{1}{log_{x}{(1-2x)}-1}}$

Все приведённые выше преобразования являются равносильными.
Заметьте! Область определения неравенства не меняется.
Сделав очевидную замену переменной, получим:

${t}\leq{3-\frac{1}{t-1}}$

${t+\frac{1}{t-1}-3}\leq{0}$

${\frac{t^2-t+1-3t+3}{t-1}}\leq{0}$

${\frac{t^2-4t+4}{t-1}}\leq{0}$

${\frac{(t-2)^2}{t-1}}\leq{0}$

В числителе полный квадрат, поэтому возможны два варианта:
1) числитель равен нулю; 2) знаменатель отрицателен.
Рассмотрим варианты по отдельности.

=====================================

$log_{x}{(1-2x)}=2$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 1-2x=x^2 \\ x>0 \\ \end{array} \right$

$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+2x-1=0 \\ x>0 \\ \end{array} \right$

$x=\sqrt{2}-1$

=====================================

$log_{x}{(1-2x)}<1$

Неравенство определено при 0 < x < 0,5, а значит, равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{rcl} 1-2x>x \\ 0<x<0,5 \\ \end{array} \right$

$0<x<\frac{1}{3}$

Ответ: $x=\sqrt{2}-1$ ; $0<x<\frac{1}{3}$