Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

На боковых ребрах АА1, ВВ1 и СС1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1
(АА1 || ВВ1 || СС1) расположены точки К, L, и М соответственно. Известно, что
угол между прямыми KL и АВ равен π/4, а угол между прямыми КМ и АС - π/3.
а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.

На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Параллельно сдвинем плоскость KLM вниз, так чтобы точка К оказалась в точке А.
Ответ задачи от этого переноса не изменится, но рассуждать станет проще.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Найдём ребро двугранного угла. Для этого пересечём ТР и СВ, получим точку N.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Плоскости РТК и АВС пересекаются по прямой AN - это и есть ребро двугранного угла.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Искомый угол ТНС (линейный) - угол между перпендикулярами к этому ребру.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Чтобы его построить, надо опустить перпендикуляр СН к АN в плоскости АВС.
По теореме о трёх перпендикулярах ТН тоже окажется перпендикуляром к AN.
Из треугольника СТН мы и найдём тангенс угла ТНС. Но нужно знать стороны.

Пусть сторона основания равна 1. Для чего дан угол π/3? Чтобы мы увидели
стандартный прямоугольный треугольник с углом 30° и нашли его стороны.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Для чего дан угол π/4? Чтобы мы увидели другой не менее стандартный
прямоугольный треугольник с углами 45° и тоже нашли его стороны.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Для нахождения тангенса искомого угла один катет у нас уже есть: СТ = √3.
Другой катет СН - высота треугольника ACN. Чтобы её найти, надо знать
площадь треугольника и основание AN. Начнём с поиска стороны CN.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)

Обозначим отрезок BN = х и воспользуемся подобием треугольников BPN и CTN:









Из треугольника BАN по теореме косинусов найдём сторону АN (напротив 120°).

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)









Площадь треугольника ACN можно искать двумя разными способами:



С другой стороны, можно использовать найденное основание AN:



Приравняв полученные площади, найдём неизвестную высоту:











Осталось найти тангенс искомого угла между плоскостями.

16(C2). На боковых рёбрах правильной треугольной призмы (вар. 91)



Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10761

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Нижний
Дата: 2014-11-17

Почему в ответе даны два значения косинуса угла?

Комментарий добавил(а): Марина
Дата: 2015-02-17

Да уж...даже не представляю , чтобы такая задачка была под №16.

Комментарий добавил(а): Ангелина
Дата: 2015-03-05

как нашли угол ABN?

Комментарий добавил(а): AlekseiSoamn
Дата: 2017-09-10

Привлекательность аренды крана-манипулятора в СПб подтверждается самими благодарными клиентами, которые нуждались именно в таком виде сервиса. Рентабельность говорит сама за себя, когда со всеми работами, справляется всего одна машина. Вам только стоит ознакомиться со способом оформления заказа, и вы сэкономите массу денег! kr78mn47

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика