Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

В треугольнике ABC точка О - центр описанной окружности, точка К лежит
на отрезке ВС, причем BК = КC. Описанная около треугольника BКO
окружность пересекает АВ в точке Т.
а) Докажите, что TК || АС.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно,
что угол BOК равен 30°, КT = 8, ВТ = 6.



Центр описанной около треугольника АВС окружности равноудалён от его вершин,
то есть является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

По условию К - середина ВС. Значит, ОК ⊥ ВС и треугольник ВКО прямоугольный.
Центр Р окружности, описанной около прямоугольного треугольника ВКО,
лежит на середине гипотенузы ОВ.



Треугольник ОВТ вписан в ту же окружность. Угол ОТВ прямой,
т.к. опирается на полуокружность. Таким образом, ОТ ⊥ АВ.



Через точку О проходит единственный перпендикуляр к прямой АВ. Известно,
что это серединный перпендикуляр. Значит, точка Т - середина стороны АВ.

Отрезок ТК - средняя линия треугольника АВС по определению.
Значит, ТК || АС по свойству средней линии, ч.т.д.



Если средняя линия КТ равна 8, то сторона АС треугольника АВС равно 16.
Если половина стороны АВ равна 6 (ВТ = 6), то вся сторона АВ равна 12.

Если угол ВОК равен 30°, то угол ВОС равен 60°, и дуга ВС равна 60°.
Вписанный угол ВАС равен половине дуги ВС, на которую он опирается.



Осталось просто посчитать площадь треугольника АВС:

S = 0,5·AB·AC·sin∠BAC = 0,5·12·16·sin30° = 0,5·12·16·0,5 = 6·8 = 48.

Ответ: 48

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 16465