Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Логарифмическое неравенство, сводящееся к квадратному (вар. 88)

Решите неравенство:

${4log_2{x}+log_2{(\frac{x^2}{8(x-1)})}}\leq{4-log_2(x-1)-{log_2}^2x}$

Можно ли прологарифмировать дробь? Возможно ли такое преобразование?

$log_2{(\frac{x^2}{8(x-1)})}=log_2{x^2}-log_2{({8(x-1)})}=2log_2x-3-log_2(x-1)$

Если твёрдо знать, что множители (x) и (x - 1) строго положительны, то да.
В данном неравенстве фигурируют отдельно слагаемые log₂x и log₂(x - 1).
Они имеют смысл, если x > 1. При этом условии логарифмировать можно.

${4log_2{x}+2log_2x-3-log_2(x-1)}\leq{4-log_2(x-1)-{log_2}^2x}$

${{log_2}^2x+6log_2{x}-7}\leq{0}$

${-7}\leq{log_2{x}}\leq{1}$

${\frac{1}{128}}\leq{x}\leq{2}$

Учитывая, что x > 1, получаем окончательно

$1<{x}\leq{2}$

Ответ: (1; 2]