Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью - 0,5 очка,
за проигрыш - 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков
и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать
девочки, если m = 2, d = 2?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10?
в) Каковы все возможные значения d, если и известно, что в сумме
мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Как вообще набираются очки в турнире? Сколько играется партий? Всё просто:

==================================================
- k участников, сыграв друг с другом дважды, сыграют всего k(k - 1) партий.
- Очков при этом будет набрано также k(k - 1) (в каждой партии по одному).
- В партиях между собой девочки набирают абсолютно всегда d(d - 1) очков.
- В партиях с мальчиками девочки могут набрать максимально 2·d·m очков.
==================================================

а) В партиях с мальчиками две девочки наберут максимум 2·2·2 = 8 очков,
в партиях друг с другом в любом случае наберут 2 очка. Всего 10 очков.

б) Если участников всего 10, то всего будет набрано очков 10·9 = 90.

в) Понятно сразу, что общее число очков k(k - 1) должно делиться на 4.
Значит, на 4 должно делиться или число участников k, или число (k - 1).
Но как рассуждать дальше? Попробуем брать в качестве k разные числа:
4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 20, 21... Сколько при этом может быть девочек?

Скажем, если участников турнира 32, то общее число очков равно 32·31,
четверть очков равна 8·31. Сможет ли одна девочка набрать столько?
Разумеется, нет. А две? Три? Четыре? Пять? Попробуйте! Посчитайте!

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 20165