Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Логарифмическое неравенство с дробью в основании (вар. 86)

Решите неравенство:

$log_{\frac{x^2-18x+91}{90}}{(5x-\frac{3}{10})}\leq{0}$

Основание данного логарифма всегда положительное, это радует.

$\frac{x^2-18x+91}{90}=\frac{(x-9)^2+10}{90}>0$

Осталось сравнить его с единицей и рассмотреть два случая:

1)

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{(x-9)^2+10}{90}>1 \\ 0<{5x-\frac{3}{10}}\leq{1}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} (x-9)^2>80 \\ 0<{5x-0,3}\leq{1}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} |x-9|>4\sqrt{5} \\ 0,3<{5x}\leq{1,3}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} x<9-4\sqrt{5} \\ 0,06<{x}\leq{0,26}\\ \end{array} \right.$              или              $\left\{ \begin{array}{rcl} x>9+4\sqrt{5} \\ 0,06<{x}\leq{0,26}\\ \end{array} \right.$

Очевидно, что вторая система решений не имеет. Первая тоже их не имеет.
Дело в том, что весь полуинтервал (0,06; 0,26] лежит правее, чем $9-4\sqrt{5}$ .

Сравним числа           0,06 и $9-4\sqrt{5}$

Для этого сравним      $4\sqrt{5}$ и (9 - 0,06)

Их квадраты равны    80    и   (9 - 0,06)² = 81 + 0,0036 - 1,08 < 80

Таким образом,          0,06 > $9-4\sqrt{5}$

В первом случае решений не найдено, рассмотрим второй:

2)

$\left\{ \begin{array}{rcl} 0<\frac{(x-9)^2+10}{90}<1 \\ {5x-\frac{3}{10}}\geq{1}\\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} 9-4\sqrt{5}<x<9+4\sqrt{5} \\ {x}\geq{0,26}\\ \end{array} \right.$

Так как 0,06 > $9-4\sqrt{5}$ , то и 0,26 > $9-4\sqrt{5}$

Ответ: $[0,26; 9+4\sqrt{5})$