Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). Найти все а, при которых уравнение имеет единственное решение (вар. 85)

Найти все а, при которых уравнение имеет единственное решение.

cos2(ax) + cosx = 2(cos(ax) + cosx - 1)


При решении задач с такой формулировкой обычно хорошо работает приём:

--- Замечаем, что все слагаемые уравнения чётны относительно х.
--- Это значит, что если (t) корень уравнения, то (-t) тоже корень.
--- Т.к. решение должно быть единственным, то это решение 0.
--- Находим значения а, при которых число 0 является корнем.
--- Проверяем, есть ли при найденных а ещё и другие корни.

Приём хорош тем, что отсекает сразу почти все значения параметра а,
оставляя пару-тройку претендентов, которые подвергаются проверке.
В нашем случае приём не работает. 0 - корень уравнения при всех а.

========================================

Пойдём тогда другим путём - просто начнём решать данное уравнение:

cos2(ax) + cosx = 2(cos(ax) + cosx - 1)

cos2(ax) - 2cos(аx) = cosx - 2

cos2(ax) - 2cos(аx) + 1 = cosx - 1

(cos(аx) - 1)2 = cosx - 1

Левая часть неотрицательна, значит, такой же должна быть и правая.
Но положительной правая быть не может (cosx ≥ 1), значит, справа 0.
Тогда и левая часть равна нулю, т.е. обе части принимают значение 0.

                        

Чтобы система имела решения, должно выполняться равенство:





Число 0 является корнем при любых значениях а. Рассмотрим n ≠ 0.
Наша цель сейчас - найти все корни уравнения (в т.ч. ненулевые).



Найденное значение а является рациональным, т.к. m и n - целые числа.
При этом значении параметра исходное уравнение имеет серию корней



При всех остальных а, т.е. иррациональных, уравнение имеет
единственный корень х = 0.

Ответ: а - иррациональное

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 5531

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): училка
Дата: 2014-10-06

огромное спасибо. Не сразу догадалась про иррационалные числа

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика