Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

14(C2). Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол (вар. 85)

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60ᵒ.
В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается
предыдущей. Угол между прямой а, соединяющей центры обеих сфер,
и ребром двугранного угла составляет 45°.
а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую а.
б) Найдите радиус меньшей сферы.

Вот первая картинка, которая приходит в голову после чтения двух первых фраз.
Здесь изображено сечение двух касающихся сфер, вписанных в двугранный угол,
плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла (ребро видим как точку В).

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол (вар. 85)

Но прямая, соединяющая центры сфер, здесь, очевидно, перпендикулярна ребру.
Поэтому в нашем случае одна из сфер будет находиться ЗА другой, ПОЗАДИ неё.
И обе плоскости, перпендикулярные ребру и проходящие каждая через центр
своей сферы, будут разными, но при этом параллельными друг другу.

16(C2). Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол (вар. 85)

А учитывая тот факт, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла,
а угол равен 60°, мы получаем прямоугольные треугольники с острым углом 30°.
И делаем первый замечательный вывод: расстояние от центров окружностей
до ребра двугранного угла в два раза больше их соответствующих радиусов.

Теперь рассмотрим другое сечение - биссекторной плоскостью двугранного угла.
Т.к. шары вписаны в двугранный угол, то их центры равноудалены от его граней
и поэтому лежат на биссекторной плоскости (прямая SВ - ребро дв. угла).

16(C2). Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол (вар. 85)

На рисунке учтен первый вывод о расстоянии от центров шаров до ребра SB.
Образовавшийся прямоугольный треугольник - равнобедренный по условию.
Гипотенуза такого треугольника в √2 раз больше катета. х - маленький радиус.

SN = 2x√2

SD = 2√2

DN = 2√2 - 2х√2

С другой стороны, DN = х + 1. Получаем, что

2√2 - 2х√2 = х + 1

х(1 + 2√2) = 2√2 - 1

Осталось разделить и преобразовать:

$x=\frac{2\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1}$

$x=\frac{(2\sqrt{2}-1)(2\sqrt{2}-1)}{(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)}$

$x=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}$

И для наглядности симпатичная картинка, найденная на просторах интернета.
Центр шара, вписанного в двугранный угол, лежит на биссекторной плоскости.

16(C2). Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол (вар. 85)