Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

15(C3). Огромное число корней в неравенстве (вар. 84)

Решите неравенство:

$\frac{\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}+\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}}{\sqrt{x^2-4(x-1)}}>2$

Если всё так сложно, то значит, неравенство совсем простое.
Разгадка в том, что под каждым корнем - полный квадрат.

Если вы с этим приёмом не встречались, то знакомьтесь:
=================================
$\sqrt{a^2+2ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|$

$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{1-2\sqrt{3}+3}=\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
=================================

Возвращаемся к неравенству. Первое подкоренное выражение:

$x-\sqrt{4(x-1)}=x-2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}-1)^2$

Первый корень:

$\sqrt{x-\sqrt{4(x-1)}}=\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}-1|$

Второе подкоренное выражение:

$x+\sqrt{4(x-1)}=x+2\sqrt{x-1}=(x-1)+2\sqrt{x-1}+1=(\sqrt{x-1}+1)^2$

Второй корень:

$\sqrt{x+\sqrt{4(x-1)}}=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|=\sqrt{x-1}+1$

Третий корень (знаменатель):

$\sqrt{x^2-4(x-1)}=\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$

=================================

В результате получаем равносильное исходному неравенство:

$\frac{|\sqrt{x-1}-1|+\sqrt{x-1}+1}{|x-2|}>2$

Знаменатель на области определения строго положителен.

$|\sqrt{x-1}-1|+\sqrt{x-1}+1>2\cdot|x-2|$

Разобьём область определения (х ≥ 1, но х ≠ 2) на две части:

1) 1 ≤ х < 2

$1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1>2\cdot(2-x)$

$2>2(2-x)$

$x>1$

Учитывая рассматриваемый промежуток, получаем: 1 < x < 2.

2) x > 2

$\sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1>2\cdot(x-2)$

$2\sqrt{x-1}>2\cdot(x-2)$

$\sqrt{x-1}>x-2$

$x-1>(x-2)^2$

$x-1>x^2-4x+4$

$x^2-5x+5<0$

На рассматриваемом промежутке получаем: 2 < x < 0,5(5 + √5).

Ответ: (1; 2); (2; 0,5(5 + √5))