Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника описана окружность (вар. 84)

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.

а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как
б) Найдите площадь четырёхугольника, если а = 2, b = 8, c = 12, d = 4.

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность (вар. 84)

Попарные произведения сторон вызывают ассоциацию с площадями треугольников.

18(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность (вар. 84)












18(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность (вар. 84)












Полученные дроби приравняем, т.к. речь идёт об одной и той же площади:





Из последнего равенства получим пропорцию:



Синусы углов вызывают ассоциацию с теоремой синусов (второй её частью).
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно...
Верно! ...удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности.
Воспользуемся тем, что все треугольники вписаны в одну окружность.

                           

В этих равенствах уже фигурируют и диагонали четырёхугольника. Итак:



В итоге получаем то, что и требовалось:



============================

*** Мы воспользовались тем, что синусы углов, сумма которых 180°, равны.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7976

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Ирина
Дата: 2014-09-27

Ольга, спасибо за краткое решение. Какие обоснования "нужны" для экспертов?

Комментарий добавил(а): Наталия.
Дата: 2014-09-30

Красиво!Спасибо!

Комментарий добавил(а): зинаида
Дата: 2015-03-30

очень хорошо намного лучше чем через соs(а+в)

Комментарий добавил(а): Даздроперма
Дата: 2014-11-29

спасибо

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика