Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

16(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника описана окружность (вар. 84)

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.

а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как $\frac{bc + ad}{ab + cd}$
б) Найдите площадь четырёхугольника, если а = 2, b = 8, c = 12, d = 4.

Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность (вар. 84)

Попарные произведения сторон вызывают ассоциацию с площадями треугольников.

18(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность (вар. 84)

$S_{BCD}=\frac{bc\cdot{sin\alpha}}{2}$

$S_{BAD}=\frac{ad\cdot{sin\alpha}}{2}$

$S=S_{BCD}+S_{BAD}$

$S=\frac{(bc+ad)\cdot{sin\alpha}}{2}$

18(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами описана окружность (вар. 84)

$S_{ABC}=\frac{ab\cdot{sin\beta}}{2}$

$S_{ADC}=\frac{cd\cdot{sin\beta}}{2}$

$S=S_{ABC}+S_{ADC}$

$S=\frac{(ab+cd)\cdot{sin\beta}}{2}$

Полученные дроби приравняем, т.к. речь идёт об одной и той же площади:

$\frac{(bc+ad)\cdot{sin\alpha}}{2}=\frac{(ab+cd)\cdot{sin\beta}}{2}$

$(bc+ad)\cdot{sin\alpha}=(ab+cd)\cdot{sin\beta}$

Из последнего равенства получим пропорцию:

$\frac{bc + ad}{ab + cd}=\frac{sin\beta}{sin\alpha}$

Синусы углов вызывают ассоциацию с теоремой синусов (второй её частью).
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно...
Верно! ...удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности.
Воспользуемся тем, что все треугольники вписаны в одну окружность.

$\frac{AC}{sin\beta}=2R$ $\frac{BD}{sin\alpha}=2R$

В этих равенствах уже фигурируют и диагонали четырёхугольника. Итак:

$\frac{sin\beta}{sin\alpha}=\frac{AC}{BD}$

В итоге получаем то, что и требовалось:

$\frac{bc + ad}{ab + cd}=\frac{AC}{BD}$

============================

*** Мы воспользовались тем, что синусы углов, сумма которых 180°, равны.