16(C4). Вокруг выпуклого четырёхугольника описана окружность (вар. 84)
Вокруг выпуклого четырёхугольника со сторонами a, b, c, d описана окружность.
а) Докажите, что отношение длин его диагоналей выражается как
б) Найдите площадь четырёхугольника, если а = 2, b = 8, c = 12, d = 4.
Попарные произведения сторон вызывают ассоциацию с площадями треугольников.
Полученные дроби приравняем, т.к. речь идёт об одной и той же площади:Из последнего равенства получим пропорцию:
Синусы углов вызывают ассоциацию с теоремой синусов (второй её частью).
Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно...
Верно! ...удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности.
Воспользуемся тем, что все треугольники вписаны в одну окружность.
В этих равенствах уже фигурируют и диагонали четырёхугольника. Итак:В итоге получаем то, что и требовалось:============================
*** Мы воспользовались тем, что синусы углов, сумма которых 180°, равны.