Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). При каких значениях параметра а неравенство верно при любом х (вар. 83)?

При каких значениях параметра а неравенство верно при любом х?

a3x4 + 6a2x2 - x + 9a + 3 ≥ 0


Неравенство четвёртой степени надо бы преобразовать, прежде чем исследовать.
Коэффициенты 1, 6 и 9 наводят на мысль о полном квадрате. Получится? Да!

a3x4 + 6a2x2 + 9a ≥ х - 3

а(a2x4 + 6ax2 + 9) ≥ х - 3

а(ax2 + 3)2 ≥ х - 3

Заметим сразу, что если а ≤ 0, то левая часть неположительна. Сходу находится
значение х (например, 8), при котором неравенство неверно ни при каком а ≤ 0.
Это значит, что мы будем рассматривать только а > 0.

При а > 0 левая часть положительна, и любое х ≤ 3 неравенству удовлетворяет.
Для этих х проблем не возникнет, поэтому рассмотрим х > 3 или хотя бы х > 0.

===========================

А теперь очень долго и очень пристально смотрите на последнее неравенство.
Через некоторое время вам откроется его секрет. Не прокручивайте вниз!

 

 

 

 

 

 

 

Обратите внимание на процесс, который происходит в скобке. Некто х возводится
в квадрат, результат умножается на а, и к новому результату прибавляется три.

Взгляните на саму скобку (результат процесса): она тоже возводится в квадрат,
квадрат опять умножается на а. Осталось только к результату прибавить три.

Перепишем неравенство и получим полный процесс - сложную функцию:

а(ax2 + 3)2 + 3 ≥ х

Обозначим саму функцию f(x):

f(x) = ax2 + 3

Неравенство перепишется так:

f(f(x)) ≥ х

Такое неравенство замечательно тем, что в случае возрастающей функции f(x)
оно равносильно более компактному неравенству

f(х) ≥ х

При а > 0 и х > 0 (а мы рассматриваем только такие) наша функция возрастает,
а значит, исходное неравенство равносильно квадратному неравенству

ax2 + 3 ≥ x

===========================

Ну а уж ответить на вопрос, при каком положительном а получившееся квадратное
неравенство верно при любом значении х, может любой уважающий себя школьник.
Разумеется, дискриминант квадратного трёхчлена должен быть неположительным.

Дальше - сами...

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8683

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Владимир
Дата: 2014-10-14

Пример чудесен, но для какого он школьника придуман???

Комментарий добавил(а): Дмитрий (math-mentor)
Дата: 2014-09-17

Спасибо, Вам. Очень интересное решение. При этом неравенство с полным квадратом в левой части (3 строка решения) можно рассмотреть и под другим углом, заметив, что слева и справа стоят обратные функции, точка касания которых лежит на прямой Y=X и мы придем к такому же компактному неравенству в конце.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-09-17

Спасибо за интересный комментарий, Дмитрий

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика