Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов (вар. 82)

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S.
На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4.
На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.
а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;
б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

1) В плоскости DSC пересекаем прямые KL и SD в точке Р.
2) В плоскости АВС пересекаем прямые ВК и АD в точке Е.
3) Соединяя попарно точки, получаем сечение EPLB.



Идея решения. Разрежем сечением BSD целую пирамиду на две половинки.

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

Найдём отношение объёмов нижних частей к половинкам целой пирамиды.

а) Нижняя часть левой половины представляет из себя тоже пирамидку.
Меньшее основание BPD - часть большего BSD. Высоты обеих пирамид
перпендикулярны пр. BD, т.к. плоскости ABD и SBD перпендикулярны.

Найдя отношение площадей оснований и отношение высот, а затем
перемножив их, мы получим отношение объёмов пирамид.

б) На правом рисунке пирамиду представляет из себя верхняя часть.
Меньшее основание BSP - часть большего BSD. Действуя аналогично,
получим отношение объёмов пирамид, затем вычтем его из единицы.

===========================================

Отрезок ВР делит площадь треугольника BSD в том же отношении,
что и точка Р делит отрезок SD. Найдём положение точки Р на SD,
используя метод отношения площадей различных треугольников.

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

SSKL = 2·SCKL, поэтому SKSP = 2·SKCP = 8b. Получаем, что SP : PD = 8 : 3

16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов16(C2). Сечение правильной четырёхугольной пирамиды и отношение объёмов

Возвращаясь к диагональному сечению пирамиды, имеем SBSP : SBPD = 8 : 3.

Займёмся левой половинкой основной пирамиды и её нижней частью.











Теперь займёмся правой половинкой, её верхней, а затем и нижней частью:













Сложим полученные дроби и найдём, какую часть всей пирамиды составляет
нижний многогранник, лежащий под построенным сечением:



Ответ: 95 : 169

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 23745

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Тамара.
Дата: 2014-09-14

Умница!!!

Комментарий добавил(а): Ирина Юньевна
Дата: 2014-09-12

Ольга Игоревна, как всегда - супер!И никакой теоремы Менелая!

Комментарий добавил(а): Анна
Дата: 2014-11-09

И мне очень понравилось!!! Благодарю за идею!!!

Комментарий добавил(а): Людмила
Дата: 2014-12-15

Объясните пожалуйста откуда 17/33?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-12-18

"Объясните пожалуйста откуда 17/33". Людмила, это 1 - 16/33.

Комментарий добавил(а): Ксения
Дата: 2015-02-08

Объясните пожалуйста почему у вас получилось 95/264, а в ответе 95/169?

Комментарий добавил(а): ксюшке
Дата: 2015-02-18

а всем похуй - написали хуйню и рады

Комментарий добавил(а):
Дата: 2015-02-27

Ксения, там отношение объема нижней части ко всему объему, а в ответе нужно отношение объема нижней части к верхней

Комментарий добавил(а):
Дата: 2015-02-27

может кто объяснить, откуда отношение радиусов взяли и почему его тут используют?

Комментарий добавил(а): Любовь
Дата: 2015-04-11

Это не отношение радиусов, а отношение высот,т.е. расстояний от соответствующих точек (вершин пирамид) до плоскостей (оснований)

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика