В трапеции ABCD AD||BC, AB = 2 и E – точка пересечения биссектрисы угла BADи прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BEв точках M и H соответственно, MH = 1.
а) Докажите, что MH || AE;
б) Найдите угол BAD
Образовавшийся при проведении биссектрисы треугольник АВЕ равнобедренный,т.к. ∠ЕАD = ∠BEA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых.Поэтому ∠ВАЕ = ∠ВЕА и выполняется признак равнобедренного треугольника. Треугольник МВН является равнобедренным по определению, т.к. отрезкикасательных, проведённых из одной точки к окружности, равны (ВМ = ВН).Равнобедренные треугольники имеют общий угол при вершине, а значит, углыпри основании одного треугольника равны углам при основании другого.Т.к. ∠ВМН = ∠ВАЕ, а это соответств. углы при прямых МН и АС и секущей АВ,то прямые MH и AE параллельны по признаку параллельности прямых, ч.т.д.
Доказано заодно и подобие треугольников - они подобны по двум углам.
Чтобы найти ∠BAD, достаточно найти угол при основании равнобедренноготреугольника АВЕ, в который вписана окружность. Обозначим ВМ = х ивоспользуемся равенством отрезков касательных АТ = ЕТ = АМ = 2 - х. Учитывая подобие, составляем пропорцию:
   ^2=0) Итак, равнобедренные треугольники оказались равносторонними.Поэтому угол ВАЕ равен 60°, а угол ВАD равен 120°.Ответ: 120° Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 12388
|