В трапеции ABCD AD||BC, AB = 2 и E – точка пересечения биссектрисы угла BAD и прямой BC. Окружность, вписанная в треугольник ABE, касается сторон AB и BE в точках M и H соответственно, MH = 1.
а) Докажите, что MH || AE;
б) Найдите угол BAD

Образовавшийся при проведении биссектрисы треугольник АВЕ равнобедренный, т.к. ∠ЕАD = ∠BEA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Поэтому ∠ВАЕ = ∠ВЕА и выполняется признак равнобедренного треугольника.

Треугольник МВН является равнобедренным по определению, т.к. отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны (ВМ = ВН).
Равнобедренные треугольники имеют общий угол при вершине, а значит, углы при основании одного треугольника равны углам при основании другого.
Т.к. ∠ВМН = ∠ВАЕ, а это соответств. углы при прямых МН и АС и секущей АВ, то прямые MH и AE параллельны по признаку параллельности прямых, ч.т.д.
Доказано заодно и подобие треугольников - они подобны по двум углам.
Чтобы найти ∠BAD, достаточно найти угол при основании равнобедренного треугольника АВЕ, в который вписана окружность. Обозначим ВМ = х и воспользуемся равенством отрезков касательных АТ = ЕТ = АМ = 2 - х.

Учитывая подобие, составляем пропорцию:



^2=0)

Итак, равнобедренные треугольники оказались равносторонними. Поэтому угол ВАЕ равен 60°, а угол ВАD равен 120°.
Ответ: 120°

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 13472
|