Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

18(C5). Произведение четырёх линейных множителей и параметр (вар. 82)

Найдите все действительные значения параметра h, при которых уравнение
x(x + 1)(x + h)(x + h + 1) = h² имеет ровно четыре действительных корня.

Первые два множителя отличаются на единичку, и последние два - тоже на единичку.
Нули функции f(x) = x(x + 1)(x + h)(x + h + 1) симметричны относит. точки -0,5(h + 1).
***Относительно этой точки попарно симметричны корни: 0 и -h - 1, а также -1 и -h.

Очевидно, что и график функции симметричен относительно прямой x = -0,5(h + 1).

20(C5). Произведение четырёх линейных множителей и параметр

Точка x = -0,5(h + 1) является точкой максимума функции, значение в этой точке
неотрицательно. А значения в двух точках минимума равны и неположительны.

Чтобы выполнялось условие задачи, горизонтальная прямая y = h²
должна оказаться строго между минимумом и максимумом функции.

20(C5). Произведение четырёх линейных множителей и параметр

Ниже точки минимума эта прямая оказаться не может, т.к. h² ≥ 0.
Но значение h = 0 следует проверить отдельно, оно не подойдёт.

Итак, задача сводится к решению следующего неравенства:
.......................................

${f(\frac{-h-1}{2})}>h^2$
.......................................

${-\frac{h+1}{2}}\cdot{\frac{1-h}{2}}\cdot{\frac{h-1}{2}}\cdot{\frac{h+1}{2}}>h^2$

$\frac{{(h+1)^2}\cdot{(h-1)^2}}{16}>h^2$

$\frac{(h^2-1)^2}{16}>h^2$

Решения неравенства симметричны относит. h = 0. Пусть h > 0.

$(h^2-1)^2>16h^2$

$|h^2-1|>4h$

Последнее выполняется, если верно одно из неравенств:

$h^2-1<-4h$           или        $h^2-1>4h$

$h^2+4h-1<0$        или        $h^2-4h-1>0$

$0<h<\sqrt{5}-2$           или        $h>2+\sqrt{5}$

Отражая решение относительно нуля, получаем окончательно:

$h<-2-\sqrt{5}$         $2-\sqrt{5}<h<0$         $0<h<\sqrt{5}-2$         $h>2+\sqrt{5}$

========================================

Теперь более подробно о симметричности. Рассмотрим конкретную функцию
f(x) = x(x + 1)(x + 5)(x + 6). Суммы крайних множителей равны (2х + 6).
Множитель, который так и просится в середину произведения, (х + 3).
Корни попарно симметричны относительно точки х = -3.

Сдвинем график на 3 единицы вправо, сделав замену t = х + 3.
Получим f(t) = (t - 3)(t - 2)(t + 2)(t + 3). График этой функции
симметричен относительно оси OY. Ноль - точка максимума.

В исходной задаче делаем аналогичную замену t = х + 0,5(h + 1).

$f(t)={(t-\frac{h+1}{2})}\cdot{(t-\frac{h-1}{2})}\cdot{(t+\frac{h-1}{2})}\cdot{(t+\frac{h+1}{2})}$

Затем находим значение функции в точке максимума:

$f(0)={(-\frac{h+1}{2})}\cdot{(-\frac{h-1}{2})}\cdot{(\frac{h-1}{2})}\cdot{(\frac{h+1}{2})}=\frac{(h^2-1)^2}{16}$

Ну и сводим решение всё к тому же неравенству:

${\frac{(h^2-1)^2}{16}}>h^2$

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 8820

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): василий
Дата: 2014-09-11

Ольга! Большое спасибо

Комментарий добавил(а): Ольга
Дата: 2014-09-24

Спасибо)

Комментарий добавил(а): Свелана
Дата: 2014-11-06

Спасибо. Доступно.

Комментарий добавил(а): Ярослава
Дата: 2015-02-14

А откуда взяли точку -0,5(h + 1)?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-02-14

Эта точка лежит ровно посередине, относительно неё нули симметричны. Это середина двух отрезков.

Комментарий добавил(а): Михаил Н.
Дата: 2015-03-29

Есть способ решения технически более сложный, но до него легко догадаться. В левой части уравнения перегруппируем множители (x(x+h+1))*((x+1)(x+h)) и сделать замену t=x^2+hx+x/ Получим два решения относительно t. Делаем обратную замену. и оба уравнения должны иметь по два решения D1>0 и D2>0. Останется исключить случай совпадения корней

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников