Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

17. Банковский вклад под действием трёх процентных ставок (вар. 81)

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно
сначала в размере $5%$ , затем $12%$ , потом $11\frac{1}{9}%$ и, наконец, $12,5%$ в месяц.
Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад
находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения
первоначальная сумма вклада увеличилась на $104\frac{1}{6}%$ .
Определите срок хранения вклада.

Если первоначальная сумма была х р., то через месяц эта сумма станет (х + 0,05х) р.
Можно сказать, что новая сумма составляет 105% от старой (увеличилась в 1,05 раз).

Если ставку не менять, то сумма снова увеличится в 1,05 раз и станет (1,05·1,05х) р.
Поменяем ставку на 12%, вклад увеличится в 1,12 раз и станет (1,12·1,05·1,05х) р.

=============================================

Пусть первая ставка продержалась k, вторая - m, третья - n, последняя - t месяцев.
Тогда сумма на счёте по истечении срока хранения увеличилась во столько раз:

${(\frac{105}{100})^k}\cdot{(\frac{112}{100})^m}\cdot{(\frac{1000}{900})^n}\cdot{(\frac{1125}{1000})^t}={(\frac{3\cdot7}{2^2\cdot5})^k}\cdot{(\frac{2^2\cdot7}{5^2})^m}\cdot{(\frac{2\cdot5}{3^2})^n}\cdot{(\frac{3^2}{2^3})^t}$

Применяя свойства степеней, представим это число в виде произведения:

${2^{2m+n-2k-3t}}\cdot{3^{k-2n+2t}}\cdot{5^{n-k-2m}}\cdot{7^{k+m}}$

Известно, что сумма увеличилась на $104\frac{1}{6}%$ , т.е. составляет $204\frac{1}{6}%$ от начальной.
Иначе говоря, она увеличилась по сравнению с начальной суммой во столько раз:

$\frac{1225}{600}=\frac{49}{24}=\frac{7^2}{2^3\cdot3}={2^{-3}}\cdot{3^{-1}}\cdot{5^{0}}\cdot{7^{2}}$

Осталось приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2m+n-2k-3t=-3 \\ k-2n+2t=-1 \\ n-k-2m=0 \\ k+m=2\\ \end{array} \right.$

Из последней строчки сразу делаем вывод о том, что k = m = 1.
Подставив эти значения в третье уравнение, получаем n = 3.
И наконец, находим t = 2.

Срок хранения вклада равен k + m + n + t = 1 + 1 + 3 + 2 = 7.

Ответ: 7

Автор: Ольга Себедаш Просмотров: 17602

Постоянно работают курсы для выпускников, учителей и репетиторов

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наум
Дата: 2014-09-06

Кто сказал, что сложный процент?

Комментарий добавил(а): Наталия
Дата: 2014-09-07

Ольга Игоревна,Вы УМНИЦА!!! Спасибо.

Комментарий добавил(а): Маргарита
Дата: 2014-09-05

Красивое решение

Комментарий добавил(а): Радиф Галиевич
Дата: 2014-09-05

Спасибо,Ольга Игоревна!

Комментарий добавил(а): Радиф галиевич
Дата: 2014-09-05

Ольга Игоревна! Предлагаю в самом конце обратить внимание на единственность такого замечательного решения: сослаться на основную теорему арифметики.

Комментарий добавил(а): Алла
Дата: 2014-09-05

Спасибо!

Комментарий добавил(а): Наталья Николаевна
Дата: 2014-09-09

Спасибо, Ольга Игоревна.:) Красивое решение, но не могу сказать, что стало все ясно и просто. Задачи из ряда, очень сложных... нужно много работать по теме...

Комментарий добавил(а): Маргарита Викторовна
Дата: 2014-09-30

Здравствуйте!Супер! Решение очень простое оказалось и доступное ученикам! Спасибо!!!

Комментарий добавил(а): Татьяна
Дата: 2014-09-24

Добрый день! Объясните, пожалуйста, почему возведение в степень и умножение?

Комментарий добавил(а): Серпиаштвили Евстафий
Дата: 2015-02-24

Супер!

Комментарий добавил(а): Попова
Дата: 2016-04-20

Спасибо!

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-05-15

Ширин, нет там 625, всё ок.

Комментарий добавил(а): Ширин
Дата: 2015-05-15

Почему 1225/600, там же 1225/625 должно быть

Комментарий добавил(а): ейникен
Дата: 2015-05-05

науму: красивое решение, клади в банк под простые проценты лох

Комментарий добавил(а): Artemy
Дата: 2016-02-08

Предлагаем Вам возможность работы в интернете, выбирайте самостоятельно более чем из тридцати проверенных вариантов заработка наиболее удобный и близкий для Вас. Более подробная информация у нас на сайте. _

Комментарий добавил(а): LlikePoint
Дата: 2021-05-31

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-06-01

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-06-05

Комментарий добавил(а): WayneJew
Дата: 2021-06-11

Комментарий добавил(а): Outsoursingsb
Дата: 2021-07-04

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-07-08

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-07-31

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-08-21

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-09-02

Комментарий добавил(а): Griggoryana
Дата: 2021-09-05

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-09-11

Комментарий добавил(а): DataMatrix
Дата: 2021-10-17

Комментарий добавил(а): SEO-LOGIC
Дата: 2021-10-24

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-10-31

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-11-12

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-11-20

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-11-28

Комментарий добавил(а):
Дата: 2021-12-23

Комментарий добавил(а): SEO-LOGIC
Дата: 2022-01-13

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-01-31

Комментарий добавил(а): Federal Project
Дата: 2022-04-25

Комментарий добавил(а): NORD220
Дата: 2022-05-01

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-05-22

Комментарий добавил(а): Joshuavof
Дата: 2022-07-12

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-07-26

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-09-03

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-09-05

Комментарий добавил(а): MSKJOB
Дата: 2022-09-08

Комментарий добавил(а): OscarPreri
Дата: 2022-09-20

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-09-23

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-09-25

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-09-26

Комментарий добавил(а):
Дата: 2022-11-16

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-13

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-14

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-15

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-17

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-18

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-19

Комментарий добавил(а): Alexandraned
Дата: 2023-03-20

Добавить Ваш комментарий:

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020 Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников