Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). ЕГЭ-2014. При каком значении параметра а уравнение (логарифмы) имеет ровно два корня

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно два решения.
(log4(x + 2) - log4(x - 2))2 - 11(log4(x + 2) - log4(x - 2)) - a2 + 3a + 28 = 0


Перед нами квадратное уравнение относительно t, где t = log4(x + 2) - log4(x - 2).
Если вы знаете теорему Виета, то корни увидите, проделав некоторые манипуляции.
Если про Виета вам ничего не известно, пропустите их и ищите сразу дискриминант.

t2 - 11t - (a2 - 3a - 28) = 0
t2 - 11t - (a + 4)(a - 7) = 0
t2 - 11t + (a + 4)(7 - а) = 0

Итак, корни в любом случае найдены: (a + 4) и (7 - а). Получаем:

            

Два получившихся уравнения при x > 2 равносильны следующим:

                                    

=================================================

Рассмотрим получившуюся дробно-линейную функцию, определённую при x > 2.



Можно сразу заметить, что выражение под знаком логарифма больше единицы,
а значит, само значение логарифма по основанию 5 положительно при x > 2.
Для получения двух корней исходного уравнения достаточно потребовать,
чтобы обе правые части были положительными одновременно:





Прямые совпадают, если a + 4 = 7 - a. Точку а = 1,5 из ответа исключим.

Ответ: (-4; 1,5), (1,5; 7)

=================================================

Можно и продолжить исследование получившейся дробно-линейной функции.



Графиком её является убывающая гипербола с асимптотами x = 2 и y = 1.

C5. ЕГЭ-2014. При каком значении параметра а уравнение (логарифмы) имеет ровно два корня
Совокупность уравнений можно переписать немножко по-другому:

                                          

Графиками уравнений y = 4a + 4 и y = 47 - а являются горизонтальные прямые.

C5. ЕГЭ-2014. При каком значении параметра а уравнение (логарифмы) имеет ровно два корня                  C5. ЕГЭ-2014. При каком значении параметра а уравнение (логарифмы) имеет ровно два корня


На рисунках выше прямые пересекают гиперболу в двух точках или не пересекают.
Для выполнения условия задачи обе прямые должны оказаться выше прямой y = 1.
Необходимо ещё не забыть исключить условие совпадения горизонтальных прямых.

=================================================

Осталось решить систему двух уравнений и исключить момент совпадения.





Прямые совпадают, если a + 4 = 7 - a, то есть при а = 1,5. Эту точку из ответа исключим.

Ответ: (-4; 1,5), (1,5; 7)

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 6523

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Тамара.
Дата: 2014-06-05

Красивое решение.Спасибо.

Комментарий добавил(а): Тамара
Дата: 2014-06-06

Спасибо.Очень просто и доходчиво.

Комментарий добавил(а): джон лок
Дата: 2014-06-06

Помарочка. f(x)=1 + 4/(x-2) , а не 1 + 2/(x-2)

Комментарий добавил(а): Шери Арти
Дата: 2016-02-17

Спасибо. Оказывается,это не так сложно

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика