Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). При каких значениях параметра все числа из отрезка удовлетворяют неравенству (вар. 69)

При каких значениях параметра а все числа из отрезка -1 ≤ х ≤ 3
удовлетворяют неравенству 2ax + 2√2x + 3 - 2x + 3a - 5 < 0 ?


Заметим несколько выражений (2х + 3) в неравенстве и заменим их на t2.
2ax + 3a - 2x - 3 - 2 + 2√2x + 3 < 0
a(2x + 3) - (2x + 3) - 2 - 2√2x + 3 < 0
at2 - t2 - 2 + 2t < 0
(a - 1)t2 + 2t - 2 < 0
=============================================
Оценим новую переменную t при условии, что -1 ≤ х ≤ 3.
-2 ≤ 2х ≤ 6
1 ≤ 2х + 3 ≤ 9
1 ≤ √2х + 3 ≤ 3
1 ≤ t ≤ 3
=============================================
Один из фокусов данной задачи состоит в том, что если неравенство
(a - 1)t2 + 2t - 2 < 0 выполняется для любого t из отрезка [1; 3],
то оно выполняется, например, и для t = 1 (удобного нам).
Подставив t = 1 в неравенство, получим сразу, что а < 1.
Сделаем старший коэффициент неравенства положительным:
(1 - а)t2 - 2t + 2 > 0
=============================================
Если корней у квадратного трёхчлена нет, то неравенство выполняется
при любых t ≥ 0, а значит, и при любых t из отрезка [1; 3], что хорошо.
Найдём четверть дискриминанта и условие, при котором он отрицателен:
1 - 2(1 - а) < 0
2a - 1 < 0
a < 0,5
=============================================
А если корни есть? Как добиться желаемого? Есть несколько путей.
1) Можно расписать условия расположения корней квадратного трёхчлена,
используя значения функции на концах отрезка, вершину и дискриминант.

C5. При каких значениях параметра все числа из отрезка удовлетворяют неравенству (вар. 69)

2) Можно найти сами корни трёхчлена через дискриминант и потребовать,
чтобы меньший оказался правее трёх или больший - левее единицы.
=============================================
3) Ну а можно заметить ещё одну хитрость в структуре трёхчлена.
Если корни у него есть, то сумма корней равна их произведению.



Такое возможно лишь в случае, когда один из корней меньше единицы,
а второй корень - больше. Но тогда f(1) < 0, где f(t) = (1 - а)t2 - 2t + 2.

C5. При каких значениях параметра все числа из отрезка удовлетворяют неравенству (вар. 69)

Но было показано, что f(1) > 0. Значит, наличие корней нас не устраивает.

Ответ: a < 0,5

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 5487

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Наталья
Дата: 2014-03-26

Очень понравился полный анализ происходящего и возможные пути решения! Спасибо большое!

Комментарий добавил(а): Илья
Дата: 2014-05-03

Мне кажется, что рассуждение "из a*b=a+b следует, что одно из чисел больше 1, а другое меньше" - неверно. Контрпример:2*2=2+2

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика