Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N,
причём M – середина AD, а BN : NC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырехугольника, образованного пересечениями прямых
AN, AC, BD, BC, если площадь параллелограмма ABCD равна 10.
в) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N
и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь
параллелограмма ABCD равна 48.




На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки (Тренировочная работа МИОО 26.02)

Треугольники BPN и MPA подобны по двум углам (докажите).

18(C4). На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки

BP : PM = BN : AM = 1 : 2. Следовательно,



Треугольники BTC и MTA подобны по двум углам (докажите).

18(C4). На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки

MT : BT = AM : BC = 1 : 2. Следовательно,



Получаем, что и третий отрезок



Таким образом, все три отрезка равны, что и требовалось доказать.

=====================================

б) Отношение площадей подобных треугольников DEA и BEN (k = 4) равно k2 = 16.

18(C4). На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки

Площадь зелёного треугольника ВЕА в 4 раза больше, чем площадь голубого BEN.

18(C4). На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки

Зелёный и рыжий треугольники вместе составляют половину всего параллелограмма.

4х + 16х = 5
20х = 5
х = 0,25

Найдём площадь искомого четырёхугольника как разность площадей треугольников:

SENCF = SBFC - SBEN

SENCF = 0,25·SABCD - 0,25

SENCF = 0,25·10 - 0,25

SENCF = 2,5 - 0,25

SENCF = 2,25

Ответ: 2,25

=====================================

в) Вернёмся к первой паре подобных треугольников. Отношение их площадей
равно квадрату коэффициента подобия, то есть площадь одного в 4 раза
больше площади другого. Обозначим площадь треугольника BPN через х

18(C4). На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки

У второй пары подобных треугольников отношение площадей тоже равно 4.
Так как площадь маленького равна , то площадь большого равна .



Площадь треугольника АВС составляет половину площади параллелограмма.

C4. На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки (Тренировочная работа МИОО 26.02)

12х = 48:2
12х = 24
х = 2
7х = 14

Ответ: 14

C4. На сторонах AD и BC параллелограмма взяты точки (Тренировочная работа МИОО 26.02)

Заметьте следующие интересные факты:
--- Площадь треугольника АРМ в 4 раза больше площади треугольника BPN
--- Площадь треугольника ВТС в 4 раза больше площади треугольника АТМ
--- Площадь треугольника АВМ в 2 раза больше площади треугольника BАN
--- Площадь треугольника ANC в 3 раза больше площади треугольника ABN
--- AP = 2·PN
--- CT = 2·AT

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 21832

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Катя
Дата: 2014-03-02

Площадь треугольника АРМ в 4 раза больше площади треугольника BPN почему так? объясните по какой формуле мы же не знаем какте у этих треугольников высоты

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-03-02

Катя, это подобные треугольники.

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-06-01

"почему АВМ в 2 раза больше ВАN"? Потому что основание одного треугольника в два раза больше другого. А высоты, проведённые к этим основаниям, равны.

Комментарий добавил(а): Алина
Дата: 2014-05-20

а почему отношение площадей треугольников ABM к BAN равно 2, а не 4?

Комментарий добавил(а): Резанова
Дата: 2014-06-01

Объясните, пожалуйста,площадь почему АВМ в 2 раза больше ВАN

Комментарий добавил(а): Мария
Дата: 2015-04-06

Подскажите, почему площадь зелёного треугольника ВЕА в 4 раза больше, чем площадь голубого BEN?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-04-06

Мария, потому что основание зелёного в четыре раза больше. А высоты у треугольников одинаковые.

Комментарий добавил(а): Любовь
Дата: 2015-04-07

Откуда видно, что основание зеленого в четыре раза больше? Про вторую сторону параллелограмма ничего не сказано.

Комментарий добавил(а): мария
Дата: 2015-04-20

Скажите пожалуйста по каким углам подобны треугольники? (в первом пункте) помимо вертикальных?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2015-04-20

Прямые параллельны, значит по внутренним накрест лежащим углам.

Комментарий добавил(а): оля
Дата: 2015-04-20

почему площадь зелёного треугольника ВЕА в 4 раза больше, чем площадь голубого BEN.

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-22

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика