Егэ-тренер. Подготовка 2019-2020
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что
если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука.
Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них
монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук
в дверь, и скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам.
Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
б) А если сундуков было восемь, а Скупой рыцарь мог разложить поровну монеты,
лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

Попробуем порассуждать для шести, для восьми и т.д. сундуков одновременно.
Утверждение номер один звучит так: в каждых двух сундуках число монет чётно.
Означает ли это, что общая сумма монет во всех сундуках чётна? Не означает.
Например, уже для трёх или пяти сундуков сумма может оказаться и нечётной.

    

А для шести сундуков (да и для восьми) всё проще - их можно разбить на пары.

          

Утверждение номер два: в каждых трёх сундуках число монет делится на три.
Может, общая сумма всех монет во всех сундуках кратна трём? Конечно, нет.

            

И для восьми сундуков это неверно. А шесть сундуков разобьём на две тройки.

               

В каждой тройке число монет кратно трём, значит, и в двух тройках кратно.
Этих двух условий уже достаточно, чтобы общее число монет делилось на 6.
================================================
Чтобы опровергнуть утверждение пункта б) для восьми сундуков (интуиция говорит
о его неверности), надо привести контрпример. Как это сделать? Начнём с малого.
Пусть сундуков 4. В каждой паре число монет чётно, в каждой тройке кратно трём.
И что же? Делится ли общее число монет на четыре? Нет, посмотрите на раскладку.



Во все сундуки положили по одной монете, а в последний - семь, это число при
делении и на 2, и на 3 даёт в остатке единицу. Проверьте все условия сами!
В случае с пятью сундуками и теми же условиями (делимости на 2, 3, 4) положим
в последний сундук 25 монет. Как получить это число? 25 = 2·3·4 + 1. Проверим:
25 + 1 делится на 2
25 + 1 + 1 делится на 3
25 + 1 + 1 + 1 делится на 4
25 + 1 + 1 + 1 + 1 не делится на 5.
Вы, наверное, уже понимаете, что делать с семью сундуками? А с восемью?
Как догадаться, что в последний сундук надо положить (2·5·6·7 + 1) монету?
Итак, в семи сундуках у нас по одной монете. Число монет в восьмом должно:
--- в сумме с единицей делиться на два
--- в сумме с двойкой делиться на три
--- в сумме с тройкой делиться на четыре
--- в сумме с четвёркой делиться на пять
--- в сумме с пятёркой делиться на шесть
--- в сумме с шестёркой делиться на семь
Или по-другому: число должно давать при делении на 2; 3; 4; 5; 6; 7 остаток 1.
Возьмём, например, наименьшее общее кратное 2; 3; 4; 5; 6; 7 плюс единица.
Таким образом, мы получим число монет в восьмом сундуке (2·5·6·7 + 1) = 421.
421 + 1 делится на 2
421 + 1 + 1 делится на 3
421 + 1 + 1 + 1 делится на 4
421 + 1 + 1 + 1 + 1 делится на 5.
421 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 делится на 6.
421 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 делится на 7
421 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 не делится на 8.

Ответ: да, нет

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7502