Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Площадь треугольника АВС равна  12. На прямой АС взята точка D... (вар. 62)

Площадь треугольника АВС равна  12. На прямой АС взята точка D так, что
точка C является серединой отрезка AD.  Точка K – середина стороны AB,
прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
а) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.


Для начала аккуратно сделаем чертёж, помечая по ходу дела равенство отрезков.

Площадь треугольника АВС равна  12. На прямой АС взята точка D... (вар. 62)

Теперь несложно заметить, что соединив точки В и D, мы получим треугольник АВD,
в котором DK и ВС являются медианами по определению (помните ли Вы его?)

Площадь треугольника АВС равна  12. На прямой АС взята точка D... (вар. 62)

А медианы в точке пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Дело сделано. Напишите, умеете ли Вы это свойство доказать самостоятельно?
Найти площадь треугольника BLK можно по-разному. Пусть АЕ - третья медиана

C4. Площадь треугольника АВС равна  12. На прямой АС взята точка D... (вар. 62)

треугольника АВD, она пройдёт через точку L пересечения первых двух.
Медиана ВС делит треугольник АВD на два равновеликих треугольника.
Поэтому площадь АВD вдвое больше площади АВС и равна 12·2 = 24.
Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
Отсюда легко найти площадь искомого треугольника BLK.   24:6 = 4.
Замечу, что оба эти утверждения следует тоже уметь доказывать.
========================================
Можно сравнить площади треугольников BLK и АВС, не трогая медианы.

C4. Площадь треугольника АВС равна  12. На прямой АС взята точка D... (вар. 62)

Треугольники эти имеют общий угол В, воспользуемся этим фактом.

              

Найдём теперь отношение площадей:



Таким образом, площадь BLK в три раза меньше площади АВС.

Ответ: 4

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 7248

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Денис
Дата: 2014-02-08

Через площади решение красивое.

Комментарий добавил(а): Анна
Дата: 2014-02-13

Большое спасибо! Очень доступное объяснение.

Комментарий добавил(а): Иван
Дата: 2014-02-09

А можно узнать: если доказать пункт а) как приведено тут, указав, что это одно из свойств медиан, засчитают ли мне балл? Нужно ли доказывать само свойство?

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-02-10

Нет, не нужно.

Комментарий добавил(а): Елена
Дата: 2014-02-12

Ольга, спасибо за один из вариантов доказательства. Хорошо, если дети увидят теорему Менелая!

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика