Егэ-тренер. Подготовка 2017-2018
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

18(C5). При каких значениях параметра уравнение имеет больше положительных корней? (вар. 62)

При каких значениях параметра р уравнение
(х - р)2(р(х - р)2 - р - 1) = -1
имеет больше положительных корней, чем отрицательных?


Для начала раскроем скобки и расположим слагаемые по убыванию степени:
р(х - р)4 - (р + 1)(х - р)2 + 1 = 0
Случай, когда старший коэффициент р равен нулю, рассмотрим отдельно.
При этом уравнения принимает вид х2 = 1 и условию не удовлетворяет.
===========================================
Если же р ≠ 0, уравнение является квадратным относительно t = (х - р)2.
рt2 - (р + 1)t + 1 = 0
Корни можно искать с помощью теоремы Виета, поделив уравнение на р:



А можно найти предварительно дискриминант D = (p + 1)2 - 4p = (p - 1)2.



              .
===========================================
При р < 0 нас устраивает лишь t = 1 (второй корень отрицателен).
(х - р)2 = 1
(х - р) = ±1
х = р ± 1
Корень (р - 1) отрицателен, поэтому условие задачи не выполняется.
===========================================
При p > 0 оба корня t1 и t2 квадратного уравнения положительны.
При этом биквадратное уравнение имеет четыре корня. Найдём их.
Одна пара у нас уже есть х = р ± 1. Ищем вторую пару:







Очевидно, два бОльших корня из каждой пары положительны, т.к. p > 0.
Оба меньших корня меняют свой знак в точке p = 1. Проверьте это сами.
При p > 1 положительны все четыре корня, условие задачи выполняется.
При p = 1 получаем корни х = 0 и х = 2, условие снова выполняется.

Ответ: р ≥ 1

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 5583

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): татьяна
Дата: 2014-05-03

Огромнейшее спасибо!!!!!!!!

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика