Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

16(C4). Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)

Все четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики.
а) Докажите, что все три четырехугольника, не заштрихованные
на нём, тоже равновелики.
б) Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного
заштрихованного треугольника равна 1.

Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)


Буду рассуждать не сверху вниз, а снизу вверх, пытаясь показать, каким образом
можно прийти к идее доказательства, самостоятельно размышляя над условием
.
==============================================
Каждый из треугольников ВСР и FCP состоит из треугольника и четырёхугольника.
Неплохо бы доказать, что их площади равны (а значит, точка Р - середина BF).

C4. Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)

Чтобы доказать, что Р - середина BF, надо бы доказать, что АВР и AFР равновелики.

C4. Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)

А для этого нужно показать равенство площадей АТР и АЕР. Идём дальше.

C4. Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)

Площади жёлтого и рыжего треугольников относятся, с одной стороны, как АТ:ТК,
а с другой, как АЕ:ЕВ. Наша цель - доказать равенство отношений: АТ:ТК = АЕ:ЕВ.
Ну а последнее станет очевидным, если будет доказана параллельность ТЕ и КВ.

C4. Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)

Теперь, когда цель ясна, начнём с доказательства параллельности и пойдём назад.
==============================================
Т.к. равны площади рыжих треугольников, то равновелики треугольники КТВ и ВЕК.
Основание у них общее, а значит, равны расстояния от точек Т и Е до прямой ВК.
Итак, ТЕ и КВ параллельны и АТ : ТК = АЕ : ЕВ. Вернёмся к предыдущему рисунку.



SATP : SKTP = АТ : ТК и SAЕP : SВЕP = АЕ : ЕВ. Отсюда следует SATP : SKTP = SAЕP : SВЕP
И учитывая равенство площадей рыжих треугольников, получаем, что SATP = SAЕP.



Тогда треугольники AFP ABP равновелики, и значит, FP = ВР. Если Р - середина ВF,



то площади ВСР и FCP равны, и значит, четырёхугольники равновелики, ч.т.д.
==============================================
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо связать площади рыжего и жёлтого
треугольников. Обозначим их через х и y соответственно и взглянем на рисунок.

C4. Четыре треугольника, заштрихованные на рисунке, равновелики (вар. 61)

Учитывая то, что x : y = FT : TP и y : (x+y) = FT : TP, составим пропорцию:





Площадь рыжего треугольника по условию задачи равна единице.







Площадь четырёхугольника вдвое больше.

Ответ: 1 + √5

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 8780

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2014-01-31

Большое спасибо за красивое решение! Гениально!

Комментарий добавил(а): училка
Дата: 2014-02-04

и мы хотим, чтобы все это решалось за 4 часа

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-01-31

Раиса, задача сложна именно началом рассуждений. Понять бы, за что браться в первую очередь. Именно поэтому я прошла по лестнице и вверх, и вниз. Если начать сразу с доказательства параллельности, решение будет смотреться фокусом и выглядеть короче. Мне это решение кажется самым простым из всех.

Комментарий добавил(а): Раиса
Дата: 2014-01-29

Задача сложная и решение далеко не простое.Вряд ли ученикам под силу. Мне интересно Ваше мнение по поводу моего решения(стр.8 форума).Я использовала только равенство пл-дей 4-х тр-ков и отн-е пл.тр.с общей вершиной и основаниями на одной прямой

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2014-03-25

Не каждый ребёнок сможет в стрессовой ситуации ЕГЭ так спокойно идти к цели, хотя особых теоретических знаний здесь и не требуется

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-23

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика