Егэ-тренер. Подготовка 2014-2015
Тренинги в прямом эфире для учителей и учеников

14(C2). Точка на продолжении ребра пирамиды и её расстояние до боковой грани (вар. 61)

На продолжении ребра ST за точку Т правильной четырехугольной пирамиды SPQRT
с вершиной S взята точка В так, что расстояние от этой точки до плоскости SPQ
равно . Найти длину отрезка ВТ, если QR = 12, SR = 10.


Продлив ребро ST, продлим и другие боковые рёбра на то же самое расстояние.

Точка на продолжении ребра пирамиды и её расстояние до боковой грани (вар. 61)

Новая пирамида подобна старой. Вот узнать бы коэффициент подобия пирамид!
Чтобы найти расстояние от т. В до плоскости SPQ, достаточно найти расстояние
от прямой АВ до этой плоскости, т.к. АВ || SPQ. А для этого достаточно найти
расстояние от любой точки прямой АВ до плоскости. Возьмём М - середину АВ.

C2. Точка на продолжении ребра пирамиды и её расстояние до боковой грани (вар. 61)

Плоскости MNS и SPQ перпендикулярны и пересекаются по прямой SN. Поэтому,
чтобы провести перпендикуляр из точки М к плоскости SPQ, достаточно провести
его к прямой SN. Отрезок МН и есть данное в условии расстояние, МН = .

Найти бы теперь аналогичное расстояние от середины RT до плоскости SPQ
в маленькой пирамиде SPQRT. Тогда мы бы узнали и коэффициент подобия.

C2. Точка на продолжении ребра пирамиды и её расстояние до боковой грани (вар. 61)

Воспользуемся тем, что сторона основания и боковое ребро пирамиды SPQRT нам даны.

C2. Точка на продолжении ребра пирамиды и её расстояние до боковой грани (вар. 61)

Сначала из треугольника STE найдём - сторону равнобедренного треугольника FSE.
Затем из треугольника ESL найдём SL - высоту равнобедренного треугольника FSE.

C2. Точка на продолжении ребра пирамиды и её расстояние до боковой грани (вар. 61)

Осталось найти высоту треугольника FSE, проведённую к стороне FS. Приём известен:
FE·SL = SF·EX
12·2√7 = 8·EX
EX = 3√7
Заметим, что найденное расстояние в полтора раза меньше данного в условии .



Таким образом, коэффициент подобия пирамид равен 1,5.
MH = 1,5·EX
SM = 1,5·SE
SB = 1,5·ST = 1,5·10 = 15
BT = SB - ST = 15 - 10 = 5

Ответ: 5

===========================================
Внимательный читатель заметит, безусловно, что числа в задаче таковы, что
треугольники FSE и NSM тупоугольные, и значит, высоты EX и MH попадают
на продолжение боковых сторон. Суть идеи и решения от этого не меняется.

Автор: Ольга Себедаш             Просмотров: 10102

Комментарии к этой задаче:

Комментарий добавил(а): Неля
Дата: 2014-02-02

Спасибо! Так просто! А я решила координатным способом - тоже несложно. Ещё раз спасибо за науку!

Комментарий добавил(а): Возмущённый
Дата: 2014-03-09

Осталось найти высоту треугольника FSE, проведённую к стороне FS. Приём известен: FE·SL = SF·EX Что за приём???????????????

Комментарий добавил(а): Ольга Себедаш
Дата: 2014-03-09

Ну зачем так возмущаться? Произведение основания на высоту в треугольнике - величина постоянная и равна удвоенной площади. Это же не группа В, это С. Тем, кто берётся за С, такая штука известна.

Комментарий добавил(а): Галина
Дата: 2014-03-25

Всё очень даже понятно! Завтра же посоветую детям на консультации посетить ваш сайт

Комментарий добавил(а): Сергей
Дата: 2014-05-07

Спасибо за решение!

Комментарий добавил(а): Андрей
Дата: 2014-08-26

А как эту задачу можно решить координатным способом?

Комментарий добавил(а): Deweydooms
Дата: 2017-06-23

If you have a desire to learn how to earn from $ 500 per day and work only for yourself, then write to us at email: admin@makemoneyonline.universalxyzdom.xyz

Добавить Ваш комментарий:

Яндекс.Метрика